Desigualdades Lineales

1.2 Desigualdades Lineales

Una desigualdad es un planteamiento que establece que un número es menor que otro. Resolver una desigualdad, como 2(x - 3) < 4, significa encontrar todos los valores para los cuales la desigualdad se verifica.

Reglas para las desigualdades.

Si se suma o se resta el mismo número en ambos lados de una desigualdad, la desigualdad resultante tiene el mismo sentido que la original.

Si se multiplican o se dividen ambos lados de una desigualdad por el mismo número positivo, la desigualdad resultante tiene el mismo sentido que la desigualdad original.

Si se multiplican o se dividen umbos lados de una desigualdad por el mismo número negativo, entonces la desigualdad resultante tiene un sentido opuesto a la desigualdad origina.

Se puede remplazar cualquier lado de una desigualdad por una expresión equivalente.

Si ambos lados de una desigualdad son positivos o negativos, entonces sus respectivos recíprocos son desiguales en el sentido inverso.

Si ambos lados de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tiene el mismo sentido que la desigualdad original.

Una desigualdad lineal en la variable x es una desigualdad que puede escribirse en la siguiente forma.

ax + b < 0,

donde a y be son constantes y a ≠ 0

Ejemplo Resolución de una desigualdad lineal

Resuelva 2(x – 3) < 4

2(x – 3) < 4

2x – 6 < 4

2x – 6 + < 4 + 6

2x < 10

2x/2<10/2

x < 5

Todas las desigualdades son equivalentes. De modo que: la desigualdad original es cierta para todos los números reales x tales que x < 5.

1.3 Aplicaciones de las Desigualdades

En ocasiones, resolver problemas planteados en forma verbal implica desigualdades.

Ejemplo Utilidad

Para una compañía que fabrica calentadores para acuario, el costo combinado de mano de obra y materiales es de $21 por calentador. Los costos fijos (costos en que se incurre en un periodo dado, sin que importar la producción) son $70000. Si el precio de venta de un calentador es de $34, ¿cuántos debe vender para que la compañía genere utilidades?

Sea q el número de calentadores que deben venderse. Entonces su costo es 21q. Por lo tanto, el costo total para la compañía es 21q + 70000. El ingreso total de la venta de q calentadores será 35q. Ahora,

utilidad = ingreso total - costo total

y se desea la utilidad > 0. Así que,

ingreso total - costo total > 0.

35q - (21q + 70000) > 0,

14q > 70000,

q > 5000.

Como el número de calentadores debe ser un entero no negativo, se observa

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