Un método de integración numér que se obtiene al integrar la formula de interpolación lineal.

Método del trapecio

[pic 1]Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud deseada. En este apartado vamos a estudiar dos métodos de integración numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson

[pic 2]

Este es un método de integración numér que se obtiene al integrar la formula de interpolación lineal.ico

[pic 3][pic 4][pic 5]             Respuesta, (error).

[pic 6]

Él área sombreada por debajo de la recta de interpolación la llamaremos g(x) es igual a la integral calculada mediante la regla del trapecio, mientras que el área por debajo de la curva f(x) es el valor exacto.

       Él error de la ecuación es igual al área entre g(x) y f(x).

            Esta misma ecuación se puede extender a varios intervalos y se puede aplicar N veces al caso de N intervalos con una separación uniforme h.

            Así se propone la regla extendida del trapecio.

            [pic 7]

[pic 8]

            Ejemplo:

El cuerpo de revolución que se muestra, se obtiene al girar la curva dada por [pic 9] ,[pic 10], entorno al eje x. Calcule el volumen utilizando la regla extendida del trapecio con [pic 11]. El valor exacto es I=11.7286, u2.

Evalué el error para cada N.

Donde:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

MÉTODO DE SIMPSON.

Cálculo de áreas:

Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma al graficar una función. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que aparece en la siguiente figura:

[pic 15]

en donde la función f(x) y los valores a y b son conocidos.

En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones:

• Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el área solicitada.

• Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área.

Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (o difícil) obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar tiempo.

El método de Simpson.

En este procedimiento, se toma el intervalo de anchura 2h, comprendido entre xi y xi+2, y se sustituye la funciónf(x) por la parábola que pasa por tres puntos (xi, yi), (xi+1, yi+1), y (xi+2, yi+2). El valor del área aproximada, sombreada en la figura, se calcula con un poco más de trabajo y el resultado es

[pic 16]

[pic 17]

La simple inspección visual de esta figura y la que describe el procedimiento de los trapecios nos confirma que el método de Simpson deberá ser mucho más exacto que el procedimiento del trapecio. El área aproximada en el intervalo [a, b] es

[pic 18]

bien, agrupando términos

[pic 19]

El primer paréntesis, contiene la suma de los extremos, el segundo, la suma de los términos de índice impar, y el tercero la suma de los términos de índice par. En el método de Simpson, el número de divisiones n debe de ser par. En el caso de que el usuario introduzca un número impar el programa lo convierte en el número par siguiente.

Ejemplo: Usando la regla de Simpson con n=2 y n=4 aproximamos:

[pic 20]

cuyo valor exacto es [pic 21]
correcto al número de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x0=1, x1=1.5, x2=2. Ahora

[pic 22]

Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, x2=2, de modo que

[pic 23]

Obtuvimos los siguientes resultados:

Estos resultados confirman claramente la convergencia de la regla de Simpson en este ejemplo particular. Podemos ver que cada ves que se duplica la n, lo cual equivale a dividir la h entre dos, el error disminuye por un factor de 16 aproximadamente (última columna de la tabla) esto es característico de convergencia O(h4) lo cual confirmaremos teóricamente más adelante.

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