Curso: Matemática III Métodos numéricos de integración

Universidad de San Carlos de Guatemala [pic 1]

Facultad de Ciencias Químicas y Farmacia

Escuela de Nutrición

Curso: Matemática III

Métodos numéricos de integración

                                         201403321 Cindy Fabiola Ramacini Méndez    NN

 Fecha de entrega: 03/01/16

Métodos numéricos de integración

• Sumas de Riemann:

Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann, es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Es una operación sobre una función continua y limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son llamados los extremos de la integración. La operación consiste en hallar el límite de la suma de productos entre el valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del subintervalo conteniendo al punto.

Toda función continua o continua a trozos en [a,b] es integrable Riemann en [a,b].

Procedimiento:

1.Sea f una función real de variable real definida y acotada en un intervalo cerrado [a,b].

2. Dividimos la región “s” en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es: Ax= [pic 2]

Teniendo los intervalos: [[Xo, X1], [X1,X2], [X2,X3],…,[Xn-1, Xn]]

3. La ecuación para la suma de Riemman es la siguiente: [pic 3]

Donde [pic 4]=  haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior. [pic 5]

Para esta suma es importante saber las siguientes identidades, sabiendo que: [pic 6]

Ejemplo 1:

F(x)= 2-, límites [0,2][pic 7]

Ax= = =0.5  [pic 8][pic 9]

=[pic 10]

=0.5[f(0.5)+f(1)+f(1.5)+f(2)]

=0.5[1.75+1-0.25-2]= 0.25

Ejemplo 2:

Hallar el área de la región bordeada por la gráfica de f(x)=(x-1)^2+2, en el intervalo x=-1 y X=2 mediante la busqueda del límite de la suma de Riemann.

Se divide [-1, 2]:

[pic 11]

La enésima suma de Riemann es: 

[pic 12]

el área de la suma de Riemann: 

[pic 13]

• Método de los trapecios:

Corresponde al caso en donde el polinomio de aproximación  es de primer orden. Este nombre se debe a la interpretación geométrica que le podemos dar a la fórmula. El polinomio de interpolación para una tabla que contiene dos datos, es una línea recta. La integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo [a,b], que es precisamente el área del trapecio que se forma.

El método más simple e intuitivo de integración aproximada es este, ya que en el cual se sustituye la función o la curva por varias cuerdas que unen los extremos de las ordenadas (también se puede decir que se sustituye en cada tramo por un polinomio de primer grado). Cuanto mayor sea el número de divisiones del intervalo [a, b] que hagamos, menor será el área, y más nos aproximaremos al valor exacto de la integral.

El procedimiento de cálculo consiste en hallar el área de los distintos trapecios entre ordenadas consecutivas y sumarlos todos.

Fórmula:

[pic 14]

[pic 15]

Él área sombreada por debajo de la recta de interpolación la llamaremos g(x) es igual a la integral calculada mediante la regla del trapecio, mientras que el área por debajo de la curva f(x) es el valor exacto. Él error de la ecuación es igual al área entre g(x) y f(x).

Esta misma ecuación se puede extender a varios intervalos y se puede aplicar N veces al caso de N intervalos con una separación uniforme h. Así se propone la regla extendida del trapecio.

Procedimiento:

1. La integral debe de ser definida.

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