Metodos De Integracion

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena.

El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por sustitución

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar:

3º Se vuelve a la variable inicial:

Se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. Vale la pena resaltar que este método se utiliza cuando no se mira a simple vista su primitiva directa.

Si es una función derivable cuyo alcance es un intervalo I y f es continua en I en tal caso:

Se puede definir este método en cuatro pasos importantes:

1. Identificar la función a sustituir, es decir Identificar "u"

2. Determinar el diferencial de "u" ("du").

3. Reescribir el integral ya sustituido.

4. Integrar.

Intente elegir como alguna función en el integrando cuya diferencial también se presente (excepto para un factor constante). Si no es posible, escoja como alguna parte complicada del integrando (tal vez la función interna de una función compuesta). Encontrar la sustitución correcta conlleva algo de arte. No es raro que la conjetura sea errónea; si su primera suposición no funciona, intente con otra.

La dificultad del "Método De Integración Por Sustitución" consiste en identificar la función que será sustituida, para esto lo que se intenta es encontrar la función que al derivar nos del diferencial de la integral. Siendo de esta manera podremos sustituir la integral completa. Esto no significa que siempre la función al derivar del diferencial, también será necesario dependiendo de las funciones tener ciertos despejes para encontrar el diferencial y poder sustituir la integral en su totalidad.

Ejemplo.

Encontrar

Reescribiendo:

Haciendo y

Tenemos entonces que: y al integrar obtenemos:

Sustituyendo para , concluimos que:

Método de Sustitución Trigonométrica.

Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas, como por ejemplo nuestra conocida fórmula:

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