Metodos De Integracion

¿Qué otros métodos de Integración existen y en que consisten?

Método de las Fracciones Parciales

Este método nos permitirá integrar cierta clase de funciones racionales (cociente de polinomios)

A manera de ilustración consideremos la siguiente integral:

ʃx2+x+3/x-2 dx

Se observa que difícilmente podríamos abordarla con alguno de los métodos que disponemos. Procederemos efectuando la división de los polinomios:

X2+x+3/x-2=x+3 residuo 9

Posteriormente aplicamos el algoritmo de la división y obtenemos:

X2+x+3=(x-2)(x+3)+9

Para obtener en el lado izquierdo de la igualdad la función que queremos integrar,

dividimos en ambos lados entre ( x - 2 ):

x2+x+3/x-2=(x+3)+9/x-2

Descomponiendo de esta manera nuestra fracción complicada en una suma de fracciones sencillas a las que llamaremos fracciones parciales, las cuales son fáciles de integrar.

ʃx2+x+3/x-2 dx=ʃ(x+3)dx+ʃ9/x-2=x2/2+3x+9ln(x-2)+C

En general si queremos integrar un cociente de polinomios P(x)/Q(x) en el que el grado de P(x) es mayor o igual al grado de Q(x), procederemos como en el caso anterior, aplicando el algoritmo de la división.

Integrales de Funciones Trigonométricas

1.- Potencias de senos y cosenos

Para resolver este tipo de integrales se consideran dos casos:

a) Si n es impar, es decir n=2k+1 factorizamos el integrando, por ejemplo

Sennxdx=sen2k+1xdx=(sen2x)ksenxdx

Utilizamos la identidad sen2x+cos2x=1 y tomamos el cambio de variable u=senx

b) Si n es par, es decir n=2k, factorizamos el integrando, por ejemplo

Sennx=sen2kx=(sen2x)k

O en el caso del coseno

Cosnx=cos2kx=(cos2x)k

Y utilizamos las identidades trigonométricas:

Sen2x=1-cos(2x)/2 ó cos2x=1+cos(2x)/2

Sustitución Trigonométrica

Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar

La cual se resuelve de la siguiente forma:

Tomamos el cambio de variable

X=senᶿ donde –π/2˂ᶿ˂π/2 pues -1˂x˂1y en consecuencia dx=cosᶿdᶿ y √1-x2=√1-sen2ᶿ=√cos2ᶿ=Cosᶿ

Pues cosᶿ>0 en el intervalo –π/2˂ᶿ˂π/2

Sustituyendo x en términos de ᶿ, obtenemos una integral en la variable ᶿ, la cual resolvemos fácilmente y del cambio de variable l aexpresamos en términos de x

ʃ1/ √1-x2dx= ʃ1/cosᶿdᶿ=ʃdᶿ=ᶿ+c=aecsenx+c

Integración por partes

Tiene por objeto calcular la función primitiva del producto de una función por la diferencial de otra función de

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