Método de integración por partes

cas de 2º de bachillerato página 64 Integral indefinida

9.Método de integración por partes.-

Se trata de otro método que permite resolver cierto tipo de integrales. Veamos:

P Sea u(x) una función. Para abreviar la expresaremos por u. Su derivada será u´ y su

diferencial du = u´dx

P Sea v(x) otra función. Para abreviar la expresaremos por v. Su derivada será v´ y su

diferencial dv = v´dx

P Supongamos que deseamos resolver una integral de la forma siguiente:

I = ∫ u dv = ∫ u ⋅ v′ dx

Es decir, la función integrando es el producto de la función u y la derivada de v.

Dicho de otro modo, se trata de hallar las primitivas de una función que es el producto

de una función u por la diferencial de otra v.

¡Pues bien!

Vamos a deducir una fórmula que nos permitirá resolver integrales de este tipo.

Veamos:

O Sea (u·v)(x) = u (x)·v(x) la función producto de u y v. Para abreviar expresaremos u·v

O Derivemos la función producto: (u·v)´= u´· v + u · v´ (recuerda “derivada de un producto)

O La diferencial de la función producto será:

d(u·v) = (u·v)´dx = v · du + u · dv = v · u´dx + u · v´dx

O Si consideramos la igualdad d(u·v) = v · du + u · dv e integramos en ambos miembros:

∫ d(u ⋅ v) = ∫ (v ⋅ du + u ⋅ dv) ={ ∫ v ⋅ du + ∫ u ⋅ dv

integral de una suma

O Considerando que la integración es la operación recíproca de la derivación, es decir, “la

integral de la derivada de una función es esa función”:

∫ d(u ⋅ v) = ∫ (u ⋅ v) ′ dx = u ⋅ v

O Considerando las dos igualdades anteriores, podemos poner:

u ⋅ v = ∫ v ⋅ du + ∫ u ⋅ dv

O Recordemos que el objetivo es calcular la integral I = ∫ u ⋅ dv , por lo que despejando:

que es la fórmula del método de integración por partes, la cual nos permite resolver la

integral I = ∫ u ⋅ dv si antes somos capaces de resolver la integral ∫ v ⋅ du

9.1.Observaciones.-

Hagamos algunas observaciones importantes que deben considerarse al aplicar este

método de integración:

Î Este método de integración se emplea cuando la función integrando es el producto de una

función (u) por la derivada de otra (v), es decir:

{ I = ∫ u ⋅ v ′ dx

integrando

Ï En la práctica, si empleamos este método, debemos separar el integrando en dos partes.

∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du

Matemáticas de 2º de bachillerato página 65 Integral indefinida

Una es la función u = u(x) y la otra dv = v´(x) dx. Saber elegir adecuadamente quien

hace el papel de u(x) y quien el de v´(x) es el paso más difícil en muchos casos.

Ð Suele ocurrir que al hacer una elección para u(x) y v´(x), la integral, lejos de resolverse,

se complique más. Esto significa que no hemos hecho la elección correcta y debemos

intentarlo con una nueva.

Ñ Nótese que para resolver al integral I = ∫ udv debemos hallar el producto de dos

funciones (u·v), lo cual no representa ninguna dificultad y otra integral ∫ v du .

Esta última integral debe ser más fácil de resolver que I = ∫ udv , ya que si fuese más

complicada el método no sería útil (evidentemente, no nos interesa que para resolver una

integral tengamos que hacer una más complicada que la que nos dan).

Ò Puede ocurrir que la integral ∫ v du que debemos resolver para hallar I = ∫ udv , se

tenga que resolver por este mismo método, es decir, hay que aplicar el método de

integración por partes dos veces.

Ó Para recordar la fórmula de integración por este método, existe una regla nemotécnica

que es facilita recordarla y así evitar un esfuerzo memorístico. Veamos:

» Regla nemotécnica

Veamos algunos ejemplos de aplicación de este método.

Ejemplo 32.-

Intentemos resolver por el método de integración por partes I = ∫ x2 Lx dx

Veamos:

S La función integrando es f (x) = x2 Lx

S Efectuamos la siguiente elección :

u x

dv Lx dx

=

=

 



2

S Aplicando la fórmula tenemos: I = ∫ x2 Lx dx = ∫ udv = u ⋅ v − ∫ v du

S Veamos que elementos conocemos y desconocemos de la fórmula anterior:

elementos de la formula

u conocida ya que u x

v desconocida aunque conocemos su derivada v Lx

du la podemos hallar En efecto du x dx

&

,

,

. :

→ =

→ ′=

→ =



 

  2

2

S Debemos hallar la función v(x) para poder aplicar la fórmula. Veamos:

v = ∫ dv = ∫ v ′ (x) dx = ∫ Lx dx » Supongamos que esta integral nos resulta difícil.

Nos preguntamos: ¿Habremos hecho una elección correcta?

¿Habrá una elección mejor que la anterior?

Vamos a intentarlo.

R Hacemos la siguiente elección:

u Lx

dv x dx

=

=

 



2

∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du

“Un día vi un vigilante vestido de uniforme”

Matemáticas de 2º de bachillerato página 66 Integral indefinida

R Aplicando la fórmula tenemos: I = ∫ Lx ⋅ x2 dx = ∫ udv = u ⋅ v − ∫ v du

R Veamos que elementos conocemos y desconocemos de la fórmula anterior:

elementos de la formula

u conocida ya que u Lx

v desconocida aunque conocemos su derivada v x

du la podemos hallar En efecto du x dx

&

,

,

. :

→ =

→ ′=

→ =











2

1

R Debemos hallar la función v(x) para poder aplicar la fórmula. Veamos:

v dv v x dx x dx { ³ Hemos dejado la constante C para el final

inmediata

= ∫ = ∫ ′ ( ) = ∫ 2 = x

3

3

R Ahora conocemos todos los elementos que intervienen en la fórmula y podemos

aplicarla:

I x Lx dx udv u v v du Lx

x x

x

dx

x Lx x

dx

x Lx

= ∫ 2 = ∫ = ⋅ − ∫ = ⋅ − ∫ = − ∫ = − I

...