Métodos de Integración
Enviado por e55010104110E • 4 de Diciembre de 2022 • Documentos de Investigación • 3.822 Palabras (16 Páginas) • 40 Visitas
CAPÍTULO
4
Métodos de Integración
1
Introducción
En este capítulo veremos las técnicas más comunes para calcular integrales indefinidas y definidas de una amplia variedad de funciones.
Pero es necesario comenzar presentando brevemente el concepto de diferencial de una función.
La diferencial de una función
En el Cálculo diferencial se introdujo el concepto de la derivada de una función y D f.x/, definida como
f 0.x/ D lím f.x C h/ — f.x/ : (2.1)[pic 1][pic 2]
En la notación de Leibniz para derivadas se escribe, para una función y D f.x/,
dy
dx D f
0.x/: (2.2)
[pic 3][pic 4]
y y
f .x C h/ b
f .x/ b f .x/ b[pic 5]
x x
x x C h x
Por ser el límite del cociente (2.1), decimos que f 0.x/ es la razón de cambio instantánea de la función f.x/ en el punto x, lo cual significa que un pequeño cambio h en ese punto puede causar un pequeño cambio en f.x/ aproximadamente igual a f 0.x/ h.[pic 6]
Una notación comúnmente utilizada para referirse a estos cambios es la siguiente: x denota el cambio o
incremento en x al moverse a un punto cercano; y denota el correspondiente cambio en y, es decir:
x D .x C h/ — x D h & y D f.x C h/ — f.x/: (2.3) Con esta notación podemos escribir
y[pic 7]
f .x/ D lím
(2.4)
x!0 x
y esta última fórmula se puede interpretar, para valores muy pequeños de x pero distintos de 0, como una aproximación.
o, equivalentemente,
f 0.x/ y
x[pic 8]
(2.5)
y ≈ f 0.x/x: (2.6)
Observe el parecido entre las fórmulas (2.2) y (2.5), aunque en la primera tenemos una igualdad y el co-
ciente dy
dx
denota el límite cuando x 0 de y , mientras que en la fórmula (2.5) tenemos solo una
x[pic 9]
aproximación.
La aproximación (2.6) se utiliza para hacer la estimación del cambio y en la variable y producido por un pequeño incremento x de la variable x. De momento solo usaremos la fórmula (2.6) para motivar la siguiente definición.
Definición. Si y f.x/ es una función con derivada f[pic 10]
por dy o bien df.x/ mediante
0.x/, se define la diferencial de f.x/, denotada
dy D df.x/ D f 0.x/ dx: (2.7)
donde denominamos a dx como la diferencial de la variable independiente x.
El cálculo de la diferencial de una función no presenta dificultad y se puede interpretar formalmente como la simple multiplicación de la derivada f 0.x/ por la diferencial dx.
0
- Por su definición df.x/ D f .x/ dx, todas las fórmulas para el cálculo de derivadas tienen sus fór-
mulas correspondientes en diferenciales, como las que enlistamos a continuación, donde f , g, u, v
denotan funciones:
- dC D 0 para C constante.
- d.xn/ D nxn—1 dx.
- dŒCf.x/ D C df.x/.
- d.u ˙ v/ D du ˙dv.
- d.uv/ D u dv C v du.
u
- d[pic 11]
v
v du — u dv .
v2
- [pic 12]d.un/ D nun—1 du.[pic 13]
- d.f Œg.x// D f 0Œg.x/ dg.x/ D f 0Œg.x/g 0.x/ dx.
Integracio´n por cambio de variable
Una vez presentado el concepto de diferencial de una funcio´n, podemos introducir el me´todo de integracio´n llamado cambio de variable.
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