Tarea 2: Métodos de integración. Cálculo Integral

Tarea  2: Métodos de integración.

Edwin Fernando Ochoa Arenas

Universidad Nacional Abierta y a Distancia -UNAD

Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería

100411_57 Cálculo Integral

Tutor Juan Alejandro Chica

Julio de 2023

Introducción

Con la elaboración del siguiente taller, se analizan, investigan, comprenden y aplican ejercicios sobre las temáticas relacionadas a los métodos de  integración. Método por sustitución, método integración por partes, integración por fracciones, por sustitución trigonométrica e integrales impropias, son los temas por tratar.

 Se seleccionó un conjunto de situaciones problema, para por medio de la aplicación de  procesos matemáticos, teoremas fundamentales del cálculo y el método de integración solicitado, se logre llegar a la solución.

 Todo esto con la ayuda de  los recursos brindados por el Tutor y la red de docentes del curso.

Objetivos

• Analizar, comprender y aplicar el método de integración por sustitución.
• Analizar, comprender y aplicar el método de integración por fracciones.
• Analizar, comprender y aplicar el método de integración por partes.
• Analizar, comprender y aplicar el método de integración por sustitución     trigonométrica.
• Analizar, comprender y aplicar la  integración de integrales impropias.     trigonométrica.
• Asistir a las web conferencias.
• Leer y comprender el material proporcionado por el tutor.
• Participar en el foro.

Tabla selección de ejercicios

[pic 1]

Desarrollo de los Ejercicios

Literal B

Temática 1 – Método de integración por sustitución.

Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución y comprobar su resultado usando GeoGebra.

[pic 2]

Solución:

Para desarrollar la integral compuesta por el método de integración, sigo los siguientes pasos:

• Simplifico para facilitar el procedimiento:

Saco la constante de la integral;

[pic 3]

Simplifico el radical;

[pic 4]

• Selecciono como  la expresión con la variable de mayor exponente :[pic 5]

[pic 6]

Despejo para hallar   para hacerla semejante a la integral original:[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Remplazo teniendo en cuenta lo siguiente:    [pic 10]

  [pic 11]

[pic 12]

“reescribo teniendo en cuenta que el orden de los factores no altera el resultado”

[pic 13]

Integro:

 [pic 14]

Aplico la ley de la oreja:

[pic 15]

Simplifico;

[pic 16]

Sustituyo el valor de :[pic 17]

[pic 18]

Respuesta:

la solución por el método de sustitución es :

[pic 19]

Comprobación GeoGebra:

[pic 20]

Temática 2 – Método de integración por partes.

        Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes y comprobar su resultado usando GeoGebra

[pic 21]

Solución:

Para realizar el proceso utilizo la siguiente formula:

[pic 22]

Para seleccionar correctamente  aplico el orden de jerarquía :[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

En ese orden de ideas :

[pic 29]

Entonces:

[pic 30]

       [pic 31]

Teniendo en cuenta lo siguiente remplazo en la formula

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

 Soluciono la integral [pic 36]

[pic 37]

Reescribiendo la ecuación:

Respuesta:  la solución por el método de partes es

[pic 38]

Comprobación GeoGebra:

[pic 39]

Temática 3 – Integración por fracciones parciales.

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por fracciones parciales y comprobar su resultado usando GeoGebra.

[pic 40]

Solución:

-Puedo identificar que los factores son irreducibles.

-Son dos los factores por consiguiente son dos las fracciones.

- Descompongo en fracciones, teniendo en cuenta que si el denominador es lineal, va una constante, de los contrario va .[pic 41]

-Simplifico realizando la suma de fracciones:[pic 42][pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

Resuelvo las operaciones:

[pic 47]

Factorizo y agrupo términos:

[pic 48]

Al tenerla ordenada de esta forma, igualo términos semejantes y formo un sistema de ecuaciones:

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

Sustituyo el valor de  en la primera ecuación para hallar el valor de :[pic 52][pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

Sustituyo los valores de A, B, y C en la descomposición de fracciones:

[pic 57]

Ahora genero las integrales de cada factor:

[pic 58]

Comienzo la integración sacando las constantes e integro las variables :

[pic 59]

Des esta manera y según la tabla de integrales primitivas :

   [pic 60][pic 61]

Respuesta: la solución por el método de fraccione parciales es:

   
[pic 62]

Comprobación  GeoGebra:

...