Intersección entre recta y plano

Intersección entre recta y plano

Para obtener la intersección entre una recta [pic 1] y el plano [pic 2], despejamos  [pic 3] y [pic 4] en la ecuación de la recta y sustituimos [pic 5] y [pic 6] en la ecuación del plano. Resolvemos para [pic 7], si la solución es única, con este valor de [pic 8] obtenemos el punto de intersección sustituyendo en la ecuación de la recta. 

Observe que la ecuación en [pic 9] puede también tener infinitas soluciones (si la recta está en el plano) o no tener solución (si no hay intersección). 

[pic 10]

Figura 41.

[Ver en 3D]

EJEMPLO 8   

Consideremos el problema de obtener la intersección, si hubiera, entre el plano [pic 11] y la recta [pic 12] 

Las ecuaciones parámetricas de [pic 13] son 

[pic 14]

Luego, sustituyendo en la ecuación de [pic 15] queda 

[pic 16]

Finalmente, sustituyendo en la ecuación de [pic 17], obtenemos el punto de intersección [pic 18]

Distancia de un punto a una recta y a un plano.

Podemos usar las ideas geométricas vistas en las secciones anteriores para deducir fórmulas para calcular la distancia de un punto a un plano y la distancia de un punto a una recta. 

Esta distancia se calcula como la longitud de la perpendicular del punto al plano o a la recta, por eso no es raro obtener fórmulas usando la proyección ortogonal 

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Consideremos un plano [pic 19], con vector normal [pic 20], que contiene a un punto [pic 21]. La distancia [pic 22] de [pic 23] a [pic 24] es 

[pic 25]

[pic 26]

Figura 42.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 

Consideremos una recta [pic 27], la distancia [pic 28]de [pic 29] a [pic 30] es 

[pic 31]

[pic 32]

Figura 43.  

Bibliografía