Ecuaciones De Recta Y Planos

Ecuaciones de recta y planos

Ecuaciones de rectas y planos

Un vector es una cantidad que tiene tanto dirección como magnitud. Como una recta tiene magnitud en la forma de su longitud y su dirección, es decir, que tiene un punto de partida y un punto de llegada, puede ser representada en forma de vector. La ecuación vectorial de una recta se escribe con la ayuda de dos componentes: un vector de posición y un vector de dirección. El vector posición habla acerca de la longitud y la orientación de la recta mientras que el vector dirección habla de su dirección.

Ecuación de la recta:

La ecuación general de una recta en su forma vectorial es r=a + λ (b-a), donde a y b son los vectores posición de los puntos A y B unidos por la recta.

Ecuación de la recta en forma paramétrica: Cualquier recta paralela a un vector distinto de cero se define por (a, b, c) y que pase por un punto (x0,y0,z0) tiene su ecuación en forma paramétrica de la siguiente manera-

x=x0+at y=y0+bt z=z0+ct

Ejemplo (no es la gráfica de la ecuación)

Ecuación del plano:

Considere un punto P0 (x0,y0,z0) que yace sobre el plano. Además, sea el punto P(x, y, z) cualquier punto en el plano y sea el vector (a, b, c) perpendicular al plano. Sea y vectores posiciónde P0 y P, respectivamente. Entonces el vector -r yacerá en el plano dado y cualquier recta en el plano será perpendicular a .Entonces, ∙ ( - )=0.Esta es la ecuación vectorial del plano.

Ejemplo 3: Encontrar la ecuación del plano que pasa a través de P (3,2,5), Q (2, −3,1) y R (1,3, −5). Solución: Para encontrar la ecuación del plano, primero debemos encontrar los vectores que yacen en el plano.

Los dos vectores que definitivamente se encuentran en el plano son PQ y QR

PQ= (−1,−2,−4) y QR= (−1,6,−4)

Entonces estos vectores estarán en el plano. El producto vectorial de estos dos vectores será ortogonal a ambos vectores y por lo tanto, al plano.

n = PQ x OR

la ecuación del plano puede encontrarse utilizando cualquier punto de los tres puntos dados. Consideremos el punto P (3,2,5), entonces, La ecuación del plano es 32 (x-3) −8 (y-5). En la simplificación, producirá 32x-8y = 56. Esta ecuación puede ser verificada para otros puntos en el plano también.

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