ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO Rectas en el espacio

ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO

Rectas en el espacio

Consideremos la recta [pic 1]que pasa por [pic 2]y por    [pic 3]. Esta recta es paralela al vector

 [pic 4], por lo tanto, dado un punto [pic 5], se debe cumplir que

[pic 6]

de donde [pic 7].

[pic 8]

Figura 23. Ecuación vectorial de una recta 

[pic 21]Como podemos escoger dos puntos cualesquiera (distintos) de una recta para obtener una ecuación,  las ecuación de una recta no es   única.

ECUACION DE LA RECTA EN FORMA SIMETRICA

1)  A (1,  4, -9);                B (10, 14, -2)

     Solución

a1= (  x2 –x1 )=(10-1)=9

  a2= ( y2 –y1 )=(14-4)=10

                                            a3= ( z2 –z1 )=(-2+9)=7

          [pic 22]

              FORMA SIMETRICA        [pic 23]

2) A (4, 2, 1);                        B (-7, 2, 5)

    Solucion

   de A   a  B

    a = A - B

a1= (  x1 –x2 )=(4+7)=11

       a2= ( y1 –y2 )=(2-2)=0

                                            a3= ( z1 –z2 )=(1-5)=-4

                                                [pic 24]

         FORMA SIMETRICA        [pic 25]

3) A (1, 2, 3);                        B (-6, 4, -3)

a1= (  x2 –x1 )=(-6-1)=-7

       a2= ( y2 –y1)=(4-2)=2

                                            a3= ( z2 –z1 )=(-3-3)=-6

                                                [pic 26]

         FORMA SIMETRICA        [pic 27]

ECUACION DE LA RECTA EN FORMA PARAMETRICA

ENCONTRAR LAS ECUACIONES PARAMETRICAS DE  LA RECTA QUE PASA  POR LOS PUNTOS:

1) A (2, 3, 5);                B (6, -1, 8);

    Solución

    si  a = A-B   se toma como referencia a B

(x, y, z)= (2+ t (6-2),  3+ t (-1-3),   5+ t (8-5))

                                     (x, y, z)= (2+ t (4),      3+ t (-4),      5+ t (3))

x = 2+4 t;[pic 28]

y = 3 - 4 t;   Ecuaciones  Parametricas

z = 5+3 t;

2)  A (1, 0, 0);                B (3, -2, -7)

     Solución

(x, y, z)= (1+ t (3-1),   0+ t (-2-0),    0+ t (-7-0))

                                    (x, y, z)= (1+ t (2),     t (-2),             t (-7))

x = 1+2 t;[pic 29]

y = - 2 t;       Ecuaciones  Parametricas

z = -7 t;

3)  A (5, -2, 4);                B (2, 6, 1)

     Solución

(x, y, z) = (5+ t (2-5),   -2+ t (6+2),    4+ t (1-4))

                                   (x, y, z) = (5+ t (-3),     -2+ t (8),         4+ t (-3))

x = 5-3 t;[pic 30]

y = - 2 +8t;   Ecuaciones  Parametricas

z = 4-3 t;

4) Obtener las ecuaciones parametricas de la recta que pasa por  P(6, 4, -2) y es paralela a la recta [pic 31]

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