RECTA Y EL PLANO

TEMA : LA RECTA Y EL PLANO

EN EL ESPACIO

R

N

N

u





u

* Ecuación vectorial de la recta.

Ecuación vectorial de la recta R

R

p = po + t u

p - po

u = ( a , b , c ) con t = un parámetro escalar

p

po

p - po = t u

O O = origen de coordenadas

po = vector de posición de un punto conocido de la recta = ( xo , yo , zo )

u = un vector conocido paralelo a la recta = ( a , b , c )

p = el vector de posición de cualquier punto sobre la recta = ( x , y , z )

Al cambiar el parámetro t el vector u puede desplazarse sobre la recta R hacia un lado u otro del punto conocido po con lo que obtenemos el vector de posición p de cualquier punto sobre la recta.

Si sustituimos las componentes de los vectores po , u y p en la ecuación vectorial tendríamos:

( x , y , z ) = ( xo , yo , zo ) + t ( a , b , c )

y si igualamos componente a componente en la ecuación llegamos a lo que se conoce como las ecuaciones paramétricas de la recta R

x = xo + a t

L : y = yo + b t

z = zo + c t

Si despejamos el parámetro t de cada una de estas ecuaciones paramétricas, llegamos a lo que se conoce como las ecuaciones en forma simétrica de la recta R

L : x - xo = y - yo = z - zo = t

a b c

* Ejercicio: Determine la ecuación de la recta con:

a) P0( 3 , - 2 , 4 ) u = ( - 2 , 4 , 3 )

b) P0 ( 3 , - 4 , - 1 ) P1( - 5 , 4 , 7 )

c) P0( 3 , 2 , - 1 ) y es perpendicular a las rectas L1 y L2

L1 : p = ( 5 , 2 , - 5 ) + t ( - 3 , 1 , 2 ) L2 : 2x – 2 = y + 2 = 2 – 2z

6 - 2

* Distancia de un punto a una recta

Se trata de encontrar la mínima distancia entre un punto y una recta, por lo que debe ser medida en forma perpendicular a la recta.

Q Del triángulo formado por Po , P1 y Q

d sen  = d = │ ( q - po ) x u │

q - po R

│ ( q - po ) │ │ ( q - po ) ││ u │

P1

 despejando a la distancia llegamos a:

Po u

q

d = │ ( q - po ) x u │

po u

O

 = ángulo entre los vectores ( q - po ) y u

En el mismo triángulo, podemos obligar el Teorema de Pitágoras, de donde:

│ ( q - po ) │2 = ( PoP1 )2 + d2 con PoP1 = ( q - po ) • u

│ u │

entonces:

d = │ ( q - po ) │2 - ( q - po ) • u 2

│ u │

* Ejercicio: Determine la distancia del punto Q( 4 , 5 , - 3 ) a la recta L

L1 : x + 2 = y - 1 = z - 4

3 2

*Ejercicio: Determine las coordenadas del punto B que pertenece a la recta L, y se encuentra a 5 unidades del origen.

L : Contiene al punto A( 2 , - 3 , 6 ) y es paralela al vector u = i + k

* Ángulo entre dos rectas.

“ Es el ángulo que forman sus vectores paralelos ”

L1

u1

 = ang cos u1 • u2

 │u1││u2│

u2

L2

* Perpendicularidad, paralelismo y coincidencia entre rectas.

L1 ┴ L2 u1 • u2 = 0

L1 ║ L2 u1 x u2 = 0 ó u1 =  u2 con  ≠ 0

L1 = L2 u1 x u2 = 0 y Po Є L1 y L2

*Ejercicio: Determine el ángulo entre las rectas L1 y L2:

a) L1 : x + 3 = 4 – y ; z = 1 L2 : x = 3 ; y – 3 = z + 2

2 4 4

b) L1 : x – 2 = 2y + 4 = 8 – z L2 : Eje Y

3 8 4

* Ejercicio: Determine si las siguientes rectas son perpendiculares, paralelas ó coincidentes:

L1 : p = ( 3 + 2t , - 1 – 3t , 4 + 2t ) L2 : 14 – 2x = 3y + 21 = 8 - z

4 9 2

...