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LA RECTA LA RECTA EN EL PLANO


Enviado por   •  19 de Abril de 2016  •  Práctica o problema  •  5.137 Palabras (21 Páginas)  •  217 Visitas

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LA RECTA

LA RECTA EN EL PLANO

Inclinación y pendiente de una recta

        Sea [pic 1] una recta dirigida hacia arriba. Se llama ángulo de inclinación de [pic 2] al ángulo que la recta forma con el eje X positivo.  Si [pic 3] es paralela al eje X, su ángulo de inclinación es cero.

[pic 4]

        

        Se llama pendiente de una recta [pic 5] a la tangente de su ángulo de inclinación. La pendiente se designa comúnmente por la letra [pic 6] y se escribe entonces

[pic 7],

siendo [pic 8] la medida del ángulo de inclinación.

Observación: Cualquier recta que coincida o sea paralela a1 eje Y será perpendicular a1 eje X, y su ángulo de inclinación será de 90º.  Como [pic 9] no está definida, la pendiente de una recta paralela a1 eje Y no existe.

Si [pic 10] y [pic 11] son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta dirigida [pic 12], la pendiente de la recta es

[pic 13],

siendo [pic 14].[pic 15]

Ángulo de dos rectas

        Sean [pic 16] una recta dirigida con ángulo de inclinación [pic 17] y pendiente [pic 18] y [pic 19] una recta dirigida con ángulo de inclinación [pic 20] y pendiente [pic 21].  La medida [pic 22] del ángulo agudo formado por las rectas está dada por

[pic 23],

siendo [pic 24].

[pic 25]

        

        Como la medida de un ángulo exterior de un triángulo es la suma de las medidas de los dos ángulos internos no adyacentes se tiene

[pic 26],

es decir,

[pic 27].

Por tanto,

[pic 28].

Condición de paralelismo entre dos rectas

        Sean las rectas [pic 29]  con pendiente [pic 30] y  [pic 31] con pendiente [pic 32].  Las rectas [pic 33] y [pic 34] son paralelas si y sólo si [pic 35].

[pic 36]

        

        Si [pic 37] y [pic 38] son paralelas, entonces [pic 39], lo que implica que

[pic 40].

De manera recíproca, si [pic 41], es decir, si

[pic 42],

entonces [pic 43], lo que implica que [pic 44] y [pic 45] son paralelas.

Condición de perpendicularidad entre dos rectas

        Sean las rectas [pic 46]  con pendiente [pic 47] y  [pic 48] con pendiente [pic 49].  Las rectas [pic 50] y [pic 51] son perpendiculares si y sólo si [pic 52].

[pic 53]

        

        Si [pic 54] y [pic 55] son perpendiculares, entonces

[pic 56],

o sea,

[pic 57],

lo que implica que

[pic 58].

De aquí,

[pic 59],

es decir,

[pic 60].

        De manera recíproca, si [pic 61], es decir, si

[pic 62],

entonces

[pic 63],

lo que implica que [pic 64], o sea, [pic 65] y [pic 66] son perpendiculares.

Ecuación punto - pendiente de la recta

        Sea [pic 67] una recta que pasa por el punto [pic 68] y tiene pendiente [pic 69]. Un punto [pic 70] del plano pertenece a la recta [pic 71], si y sólo si

[pic 72],

o sea,

[pic 73].

Esta ecuación se llama ecuación punto - pendiente de la recta [pic 74].

Nota: Una recta paralela o coincidente con el eje Y no tiene pendiente, por lo cual no existe una ecuación de este tipo para dicha recta.

Ecuación explícita o pendiente – ordenada al origen de la recta

        De la ecuación punto – pendiente

[pic 75]

de la recta [pic 76] se tiene

[pic 77].

Haciendo [pic 78] se tiene

[pic 79].

Esta ecuación se llama ecuación pendiente – ordenada al origen de la recta [pic 80].  El número [pic 81] se llama ordenada al origen de la recta [pic 82] y representa la ordenada del punto en que la recta corta al eje Y.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos

        Sea         [pic 83] una recta que pasa por los puntos [pic 84] y [pic 85].  La pendiente de [pic 86] está dada por

...

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