La Recta Y El Plano Vectorial
Enviado por DeadKuriel • 5 de Febrero de 2014 • 6.703 Palabras (27 Páginas) • 515 Visitas
La recta y el plano
CONJUNTO DE ECUACIONES DE LA RECTA
Postulado de Los Elementos de Euclides:
Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualquiera.
Ecuación vectorial de la recta
Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y un vector de posición, si tuviésemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición.
La ecuación de una recta es una expresión analítica que permite identificar todos los puntos de la recta.
y
Dados un punto de la recta y un vector de dirección , un punto que genera a la recta X(x,y)tendrá como vector de posición .
Es claro que , como el vector y están en la misma dirección existe un número tal que , por tanto esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la recta.
Ecuación vectorial de la recta
Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por y tiene como vector de dirección
Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P=(-2,3) y Q=(1,4)
Para determinar la ecuación vectorial necesitamos un punto y un vector de dirección, el punto lo tenemos y un vector de dirección se puede determinar a partir de dos puntos de la recta , luego la ecuación vectorial es
Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos y
Definimos una recta L como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada por el vector v ⃗.
Si P(x1, y1) es un punto de la recta L, el vector tiene igual dirección que v ⃗, luego es igual a v ⃗ multiplicado por un escalar:
Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación vectorial.
Definición
Si es una recta que pasa por los puntos
Si realizamos da diferencia de las coordenadas de estos dos puntos obtenemos
Un vector que va del punto P al punto Q, así obtenemos
P-Q=(p_(1,) p_(2,) p_3 )-(q_(1,) q_(2,) q_3)
Queda de la siguiente manera
□(→┬PQ =(p_1-q_(1,) p_2-q_(2,) p_3-q_3))
y si ponemos entonces
La ecuación vectorial de es
(x,y,z)=(p_(1,) p_(2,) p_3 )+t<v_1,v_(2,) v_3)
Lo cual lo podemos entender que el punto (x,y,z) esta determinado por
La suma del punto(p_(1,) p_(2,) p_3 ) más el producto del escalar t que multiplica al vector de dirección de la recta. Considerando que esta punto puede ser cualquier punto de la recta.
Despejando x,y y z obtenemos las ecuaciones paramétricas de
Si cada〖 v〗_(i )≠0, despejando obtenemos las ecuaciones simétricas de la recta .
Otra forma de expresar la ecuación vectorial de la recta puede ser de la siguiente manera:
P=P_(0 )+ t v
Donde P ( x , y, z) es un punto arbitrario de la recta y
P_0 (x_(0,) 〖 y〗_(0, ) z_(0 ) ) un punto dado luego,
V , es el vector director de la recta.
<x-x_(o,) y-y_o,z-z_o> =t <a_1,a_2,a_3> Ecuación vectorial
x= x_o+a_1 t ,y= y_0+a_2 t,z=z_0+a_3 t Ecuaciones paramentricas
(x-x_(o ))/a_1 =(y-y_o)/a_2 = (z-z_o)/a_3 Ecuaciones Simétricas o rectangulares
II ECUACION DE LA RECTA EN FORMA SIMETRICA
Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 4, -9); B (10, 14, -2)
de Aa B
V = A - B
Solución
a1= ( x2 –x1 )=(10-1)=9
a2= ( y2 –y1 )=(14-4)=10
a3= ( z2 –z1 )=(-2+9)=7
Vector director de la recta V=<9,10,7>
FORMA SIMETRICA
2)Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (4, 2, 1); B (-7, 2, 5)
Solucion
de Aa B
V = A - B
a1= ( x1 –x2 )=(4+7)=11
a2= ( y1 –y2 )=(2-2)=0
a3= ( z1 –z2 )=(1-5)=-4
FORMA SIMETRICA
3) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 2, 3); B (-6, 4, -3)
de Aa B
V = A - B
a1= ( x2 –x1 )=(-6-1)=-7
a2= ( y2 –y1)=(4-2)=2
a3= ( z2 –z1 )=(-3-3)=-6
FORMA SIMETRICA
III ECUACION DE LA RECTA EN FORMA PARAMETRICA
ENCONTRAR LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS:
1)Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 5); B (6, -1, 8);
Solución
si a = A-B se toma como referencia a B
(x, y, z)= (2+ t (6-2), 3+ t (-1-3), 5+ t (8-5))
(x, y, z)= (2+ t (4), 3+ t (-4), 5+ t (3))
x = 2+4 t;
y = 3 - 4 t; Ecuaciones Paramétricas
z = 5+3 t;
2) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 0, 0); B (3, -2, -7)
Solución
(x, y, z)= (1+ t (3-1), 0+ t (-2-0), 0+ t (-7-0))
(x, y, z)= (1+ t (2), t (-2), t (-7))
x = 1+2 t;
y = - 2 t; Ecuaciones Paramétricas
z = -7 t;
3) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (5, -2, 4); B (2, 6, 1)
Solución
(x, y, z) = (5+ t (2-5), -2+ t (6+2), 4+ t (1-4))
(x, y, z) = (5+ t (-3), -2+ t (8), 4+ t (-3))
x = 5-3 t;
y = - 2 +8t; Ecuaciones Paramétricas
z = 4-3 t;
4) Obtener las ecuaciones Paramétricas de la recta que pasa por P(6, 4, -2) y es paralela a la recta
Solución
t = x/2; t = 1-y / 3; t = z-5 /6;
...