Rectas en el plano cartesiano

Rectas en el plano cartesiano

La idea de crear un sistema para representar figuras geométricas como rectas, triángulos, círculos, etc. y poder describirlos a través de números fue, sin duda, una de las más grandes ideas matemáticas del siglo XVII. Como algunas otras grandes ideas, fue motivo de discusiones, tensiones y enemistades entre matemáticos famosos. En este caso, entre Fermat y Descartes surgieron discrepancias en torno a la genial creación de ambos, pues, como trabajaron independientemente, había algunas diferencias entre ambos sistemas y cada uno de ellos se empeñó en demostrar que su sistema era el mejor de los dos.

Finalmente, el sistema de Descartes fue adoptado por los demás matemáticos de la época, por permitir mayor facilidad en los cálculos aritméticos y algebraicos que el propuesto por Fermat.

Las rectas son las figuras geométricas más simples, después de los puntos, y con su estudio en el plano cartesiano, se descubre la gran utilidad que tiene éste en la determinación de las propiedades de las figuras geométricas.

Se puede tomar, por ejemplo, el caso de una recta como la que se muestra a la derecha.

Será mucho más fácil hablar con precisión numérica acerca de algunas de sus propiedades, si se ubica la recta en un plano cartesiano, como se hace en la figura de la izquierda.

Una de las propiedades más importantes de una recta es su inclinación, la cual se define en términos matemáticos como la pendiente.

Comparando la recta con otra, que en este caso puede ser la recta :

Se podría decir que la recta es más "inclinada" que la recta . En términos matemáticos, se dice que tiene pendiente mayor que .

Para encontrar una manera de precisar numéricamente las pendientes de estas rectas, hay que observar algo esencial:

Los puntos y en la recta y los puntos y en , están ubicados de manera que la abscisa de y es 1 y la de y es 2. Pero mientras que las ordenadas de y son 1 y 2, las de y son y respectivamente.

Se podría decir que la recta está "creciendo" más rápido que la , porque al pasar de la abscisa 1 a la 2, en hay un crecimiento de 1 unidad en la ordenada, mientras que en hay un crecimiento de a y

Para ser más precisos, se observa que la proporción entre cambio de la ordenada y cambio de la abscisa, es decir, entre diferencia de la ordenada y diferencia de la abscisa es mayor para y que para y :

La pendiente de una recta es justamente esa proporción:

tomándose esta diferencia entre dos puntos cualesquiera de la recta.

En el ejemplo anterior, se tiene:

Pendiente de

Pendiente de

Si se vuelve a considerar la recta utilizada antes, y se calcula su pendiente usando otros dos puntos de ella, por ejemplo, y :

Como y la pendiente será igual a :

Tal como era de esperarse, el resultado de este cociente se mantuvo igual que cuando se calcularon las diferencias de ordenadas y abscisas de y . La razón es muy simple: la proporción entre el cambio de la ordenada y el cambio de la abscisa tiene que mantenerse constante a lo largo de toda la recta, puesto que, por el hecho mismo de tratarse de una recta, su inclinación se mantiene constante.

Incluso hubiera dado igual si se calculan las diferencias así:

Lo que hay que tomar en cuenta es que si y , para calcular la pendiente se debe calcular

es decir, hay que calcular las diferencias en el mismo orden en el numerador que en el denominador, pero nunca hacer esto: .

Se ha visto cómo, el hecho de tener una recta representada en un plano cartesiano, llamado también sistema de coordenadas rectangulares, permite dar un valor numérico para su pendiente, lo cual es una medida de su "inclinación".

Ahora, se verá que todos los puntos que pertenecen a una recta dada satisfacen una ecuación, llamada justamente: la ecuación de la recta.

Es fácil notar que, en la recta del ejemplo inicial, todo punto que pertenece a está a igual distancia del eje de las abscisas que del eje de las ordenadas. En este caso, la ecuación de la recta es:

puesto que todo punto del plano cartesiano estará en la recta si y recíprocamente, si es un punto de la recta, entonces .

En el caso de la recta , se obtiene una ecuación más elaborada.

Si es un punto de la recta , se debe cumplir que, al calcular la pendiente de usando los puntos y , el resultado es , pues esa es la pendiente de . Es decir,

Multiplicando ambos miembros de esta igualdad por 4 y luego por se obtiene:

es decir, , lo cual equivale a ó

Es esta última expresión la ecuación de la recta , en una de sus formas más usadas, aunque es equivalente a las siguientes ecuaciones:

El significado de la palabra "ecuación", cuando se habla de ecuaciones en , en o en pareciera diferenciarse del que ahora tiene cuando se habla de "ecuación de una recta". Sin embargo, la diferencia es sólo aparente.

Cuando se tiene la ecuación

la solución es un número, en este caso , y éste número se puede representar en la recta real:

En la ecuación de la recta , la solución ahora no es un punto, sino un conjunto de puntos del plano cartesiano, es decir, un conjunto de pares ordenados tales que cuando se sustituye, en la ecuación, la por y la por , se obtiene una igualdad.

Por ejemplo, el punto:

es solución de la ecuación

porque .

También es solución de la ecuación:

En otras palabras, y pertenecen a la recta cuya ecuación es:

Por otra parte, el punto no pertenece a la recta, pues al sustituir por 6 y por 4 en la ecuación de la recta, no se obtiene una igualdad:

De manera que la ecuación de una recta es una ecuación en el sentido ya conocido, sólo que la solución no es un único número, sino que hay infinitas soluciones: todos los pares ordenados de números reales que representan a todos los puntos de la recta en cuestión.

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