Ecuaciones De Rectas Yplanos

1.6 Ecuaciones de rectas y planos.

Un vector es una cantidad que tiene tanto dirección como magnitud.

Como una recta tiene magnitud en la forma de su longitud y su dirección, es decir, que tiene un punto de partida y un punto de llegada, puede ser representada en forma de vector.

La ecuación vectorial de una recta se escribe con la ayuda de dos componentes:

Un vector de posición

Un vector de dirección.

El vector posición habla acerca de la longitud y la orientación de la recta mientras que el vector dirección habla de su dirección.

Para determinar un plano se necesitan un punto P_0(x_0, y_0, z_0) y un vector N ⃗(A, B, C) normal al plano. La ecuacion del plano viene entonces dada por la relación:

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 → A.x + B.y + C.z + D = 0(1).

Donde D= -A. x_0 – B. y_0 – C. z_0

Se pueden considerar varios casos partículares según que uno o dos de los coeficientes de la ecución sean nulos.

Plano paralelo al eje OX. Se tiene A= 0 y la ecuación toma la forma:

B.y + C.z + D = 0

Siendo el vector director normal al plano de la forma:

N ⃗ = B. j ⃗ + C k ⃗

Fig.1

Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + C.z + D = 0

Siendo el vector director normal al plano de la forma N ⃗ = A. j ⃗ + C. k ⃗

Fig. 2

Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + B.y + D = 0

Siendo el vector director normal al plano de la forma N ⃗ = A. j ⃗ + B. k ⃗

Fig. 3

Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + B.y + C.z = 0

Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la ecuación general toma la forma:

C.z + D = 0 z = Cte.

Esta ecuación puede considerarse también como la correspondiente a un plano paralelo al plano XOY.

Fig. 4

Plano perpendicular al eje OY, o lo que es igual, paralelo al plano XOZ. Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:

B.y + D = 0; y = Cte.

Plano perpendicular al eje OX, o lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + D = 0; x = Cte.

1.6.1 Determinación lineal.

Una recta r en el espacio queda determinada por un punto A y un vector □(→┬U ) no nulo, que se llama vector director o direccional de la recta. r(A, □(→┬V )) se llama determinación lineal de la recta r.

Fig.6 Fig. 5

1.6.2Ecuación vectorial de la recta.

Observando la figura 2, es evidente que un punto cualquiera X pertenece a la recta r(A, →┬V) si →┬AX y →┬V son linealmente dependientes o proporcionales. Se cumple entonces que →┬AX = λ →┬V, siendo λ un número real.

Sea la recta r que pasa por el punto A(x1, y1, z1) y su vector de posición es →┬V = (v1, v2, v3) Si →┬A y →┬X son los vectores de posición de los puntos A y X (x, y, z) se tiene que: →┬X - →┬A = λ→┬V de donde: rx = ra + λrv, ecuación vectorial de la recta.

Dando valores al parámetro λ se obtiene un conjunto de vectores libres →┬X cuyos representantes tienen su origen en el punto O, y cuyos extremos X son puntos de la recta r.

1.6.3 Ecuaciones paramétricas de la recta.

Si A (x1, y1, z1) y X (x, y, z) son las coordenadas de los puntos A y X, respectivamente, y →┬V = (a, b, c), sustituyendo estas coordenadas en la ecuación vectorial de la recta, se tiene:

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t (a, b, c) de donde:

├ █(x= x_1+ta@y= y_1+tb@z= z_1+tc)} t ∈R

Si despejamos el parámetro t de cada ecuación anterior e igualamos, obtenemos:

Ecuaciones de la recta en forma continua

(x-x_1 )/a= (y-y_1 )/b=(z-z_1 )/c

1.6.4 Puntos alineados.

Tres o más puntos del espacio están alineados cuando pertenecen a la misma recta. Sean A1 , A2 , A3 , A4 , ......, An , n puntos; la condición necesaria y suficiente para que estén alineados es que los vectores →┬(A1 A2), →┬(A1 A2), →┬(A1 A4)…..,→┬(A1 An) sean proporcionales; es decir:

A1 , A2 , A3 , A4 , ......, An están alineados ⇔ rango (→┬(A1 A2), →┬(A1 A2), →┬(A1 A4)….., →┬(A1 An))

1.6.5 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

La recta que pasa por dos puntos A y B tiene la siguiente determinación lineal:

r( A, →┬(A1 A2)).

Si X es un punto cualquiera de la recta se verifica →┬AX = t →┬AB con t ∈ R

Si →┬a y →┬b son los vectores de posición de los puntos A y B, respectivamente, y →┬X es el vector de posición de un punto X cualquiera de la recta, se verifica:

Ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos.

→┬X →┬a + t (→┬b - →┬a ) con t ∈ R

Fig. 7

Si A (x1 , y1 , z1 ) , B (x2 , y2 , z2 ) y X (x , y , z ) son las coordenadas de los puntos A, B y X, respectivamente, sustituyendo estas coordenadas en la ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos, se tiene:

(x , y , z ) = (x1, y1 , z1 ) + t [ (x2 , y2, z2 ) - (x 1, y1 , z1 ) ] de donde:

Ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por dos puntos.

├ █(x= x_1+t(x_2- x_1)@y= y_1+t(y_2-y_1)@z= z_1+t(z_2-z_1))}

Si despejamos el parámetro t de cada ecuación anterior e igualamos, obtenemos:

Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos en forma continua:

(x-x_1 )/(x_2-x_1

...