Intervalos de confianza

Sean X1, X2, . . . , Xn una muestra aleatoria de una distribución normal con parámetros  y σ2[pic 1]

Entonces la variable aleatoria:

[pic 2]

Tiene una distribución de probabilidad ji cuadrada (x2) con n-1 grados de libertad.

Distribuciones ji2

La distribución ji cuadrada es una distribución de probabilidad continua con un solo parámetro llamado número de grados de libertad, con posibles valores de 1, 2, 3, . . . . Cada función de distribución de probabilidad f(x;) es positiva sólo con x>0 y cada una tiene asimetría positiva (una larga cola superior), aunque la distribución se mueve hacia la derecha y se vuelve más simétrica a medida que se incrementa .[pic 5][pic 3][pic 4]

La variable aleatoria

Satisface los dos parámetros en los cuales está basado el método general de obtener un intervalo de confianza. Es una función del parámetro de interés σ2, no obstante, su distribución de probabilidad (ji cuadrada) no depende de este parámetro.

[pic 6]

Construcción del Intervalo de confianza.

Pasos a seguir:

Fijamos el nivel de confianza

[pic 7]

Elección del estadístico pivotal.

 Tomamos el estimador insesgado de σ^2:

[pic 8]

Se utiliza el siguiente estadístico pivotal donde

[pic 9]

La distribución de χ 2 n no es simétrica por lo tanto

[pic 10]

Y llegamos a

[pic 11]

Despejando de esta expresión el valor σ^2 se obtiene

Donde en la parte inferior de la X se muestra el nuero de libertad n-1

[pic 12]

De esta forma hemos construido un intervalo probabilístico cuyos extremos son variables aleatorias.

[pic 13]

Ejemplo Escrito:

A un grupo de individuos se les sometió a una dieta especial y al final se les midio elnivel de colesterol en el plasma, los resultados fueron los siguientes:

6, 6.4, 7, 5.8, 5.9, 6.7, 6.1, 6.5, 6.3, 5.8 (mmol/litro)

Suponiendo que la población de colesterol tiene una distribución normal, construya un IC del 95% para la varianza poblacional del nivel de colesterol.

n=12  [pic 14]

0.1536 =

Grado de libertad =n-1=11

Nivel de confianza: 0.95 por lo tanto  α=0.05

Obtenemos los resultados de chi cuadrada en tablas.

         [pic 15][pic 16]

=3.816  =21.920

Evaluando en la formula [pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Lo cual nos quiere decir que del límite inferior al límite superior hay una 95% de probabilidad de que al calcular la varianza este entre esos valores.

...