Introducción a las мatrices

Introducción

Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 1850, introducidas por el inglés J.J. Sylvester. Su desarrollo se debe a W.W. Hamilton y a A. Cayley. Las matrices son un concepto matemático muy antiguo y muy actual. Se pueden encontrar referencias acerca de las matrices y sistemas de ecuaciones en manuscritos chinos que datan de alrededor del año 200 a.C. Con los años los matemáticos y científicos han encontrado muchas aplicaciones de las matrices. Nuestra cultura está llena de matrices de números: el horario de los trenes de cada una de las estaciones es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada uno de los días de la semana es otra, los horarios de clases con columnas y filas donde las celdas se completan con las materias, y muchos otros ejemplos. Las tablas de sumar y multiplicar, la disposición de los alumnos en clase, las casillas de un tablero de ajedrez, son otros tantos ejemplos de la vida cotidiana de matrices. Actualmente, con la llegada de computadoras personales a gran escala se ha incrementado el número de matrices en una amplia variedad de aplicaciones. En 1979 Dan Bricklin y Robert Frankston introdujeron VisiCalc, la primera hoja de cálculo para computadoras personales. De manera muy simple una hoja de cálculo es un programa en computadora que permite al usuario introducir y manejar números, a menudo mediante notación matricial y operaciones. Las matrices tienen muchas otras aplicaciones útiles y poseen en sí mismas una estructura matemática interesante.

En el siguiente trabajo se hará una introducción a las matrices, el álgebra de matrices, determinantes de una matriz, matrices inversas y otros temas.

Introducción a las Matrices

Una matriz es un arreglo rectangular de números:

a11 a12 … a1n

A = a21 a22 ... a2n

: : :

am1 am2 amn

Si hay m filas y n columnas, decimos que el orden de la matriz es m X n, y nos referimos a ella como ”matriz m X n” o, simplemente, como matriz rectangular. Una matriz n X n se llama matriz cuadrada y se dice que tiene un orden n. La entrada o elemento, en la i-esima fila y en la j-esima columna de una matriz A de orden m X n se denota como aij. Así la entrada en, digamos, la tercera fila y la cuarta columna es a34.

Tipos de Matrices

1. Se le llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.

0 0 0 0 0

A = 0 0 0 0 0

2. Se le llama matriz fila a la que solo tiene una fila, es decir su dimensión es 1 X n.

1 0 -4 9

3. Se le llama matriz columna a la que solo consta de una columna, es decir su dimensión será m X 1.

1

0

-8

4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n X n.

1 2 3

6 5 4

-3 -4 0

En las matrices llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos 1, 5, 0, del ejemplo anterior. Y se le llama traza de la matriz a la suma de estos elementos. En este caso sería 1+5+0=6.

Igualdad

Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y si sus correspondientes entradas son iguales. Por ejemplo,

a b c u v w

d e f = x y z

sí y solo sí a = u b = v c = w

d = x e = y f = z

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

Álgebra de Matrices

En álgebra común, damos por sentado el hecho de que cualquier par de números reales pueden sumarse, restarse y multiplicarse. En álgebra de matrices, sin embargo, dos matrices pueden sumarse, restarse y multiplicarse solamente en ciertas condiciones.

Suma de Matrices

Solamente las matrices que tienen el mismo orden pueden sumarse. Si A y B son ambas matrices m X n su suma es la matriz m X n formada al sumar las correspondientes entradas en cada matriz.

a b w x (a+w) (b+x)

c d y z (c+y) (d+z)

2 -3 0 3 1 2 5 -2 2

1 2 -5 -3 2 5 -2 4 0

Como la suma de dos matrices se obtuvo al sumar sus elementos correspondientes, se concluye de las propiedades de los números reales que las matrices del mismo tamaño son conmutativas y asociativas con respecto a la suma. Es decir, si A, B y C son matrices del mismo tamaño, entonces

A + B = B + A

(A+B) + C = A + (B+C)

Resta de Matrices

El negativo de una matriz M, que se denota –M, es una matriz con elementos que son los negativos de los elementos M. Así, si

a b

c d

Entonces

-a -b

-c -d

Si A y B son matrices del mismo tamaño, entonces se define la resta como sigue:

A – B = A + (-B)

Así, para restar la matriz B de la matriz A, simplemente se restan los elementos correspondientes.

3 -2 -2 2 3 -2 2 -2 5 -4

5 0 3 4 5 0 -3 -4 2 -4

Multiplicación de Matrices

Se introduce ahora la multiplicación matricial, que al principio puede parecer extraña. Sin embargo, a pesar de lo rara que parece, esta operación está bien cimentada en la teoría general de matrices, y como se verá, es muy útil en muchos problemas prácticos.

De acuerdo con la historia, la multiplicación matricial fue introducida por el matemático ingles Arthur Cayley en estudias acerca de las ecuaciones matriciales y transformaciones lineales. Las ecuaciones matriciales y sus soluciones proporcionan un método alterno para resolver sistemas de ecuaciones lineales

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