Inverso Aditivo Y Multiplicativo

INVERSO ADITIVO Y MULTIPLICATIVO

Los conceptos de inverso aditivo y de inverso multiplicativo juegan un papel importante en el estudio de los conjuntos numéricos.

Un número a es el inverso aditivo de b si se cumple que a + b = 0, es decir, si su suma es igual al elemento neutro de la adición.

Por su parte, un número a es el inverso multiplicativo de b si se cumple que a • b = 1, es decir, si su producto es igual al elemento neutro de la multiplicación.

En el conjunto de los números naturales, el único número que tiene inverso aditivo es el 0, que es su propio inverso aditivo, ya que 0 + 0 = 0. La introducción de los números enteros implica, entre otras cosas, que todo entero tiene inverso aditivo. El inverso aditivo de un entero es un número que tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo.

Algo similar sucede con el inverso multiplicativo. En el conjunto de los naturales, así como en el conjunto de los enteros, el único número que tiene inverso multiplicativo es el 1, que es su propio inverso multiplicativo, ya que 1 • 1 = 1. En el conjunto de las fracciones, en cambio, todos los números, excepto el 0, tienen inverso multiplicativo. Si a/b es una fracción cualquiera, su inverso multiplicativo es b/a, puesto que, de acuerdo con los procedimientos de multiplicación de fracciones,

• = = 1

De las definiciones es posible deducir que si a es el inverso aditivo de b, entonces b es el inverso aditivo de a. A su vez, si a es el inverso multiplicativo de b, entonces b es el inverso multiplicativo de a.

Otra propiedad interesante del inverso aditivo es que restar un número es equivalente a sumar su inverso aditivo. Es decir, si (-b) es el inverso aditivo de b, entonces se cumple que:

a – b = a + (-b)

Para demostrar esta propiedad, podemos basarnos en la propiedad de la sustracción según la cual si sumamos la misma cantidad al minuendo y al sustraendo, la diferencia se mantiene.

En la sustracción a – b sumemos (-b) al minuendo y al sustraendo. Se tiene así:

a – b = [a + (-b)] – [b + (-b)]

Y como b + (-b) = 0 por la definición de inverso aditivo, se tendrá finalmente:

a – b = a + (-b)

También es posible demostrar que dividir por un número es equivalente a multiplicar por su inverso multiplicativo, es decir, si llamamos b-1 al inverso multiplicativo de b, se tiene que:

a : b = a • b-1

Para demostrar esta relación, recordemos que en una división si se multiplica el dividendo y el divisor por un mismo número, el cuociente no cambia. Esta operación es equivalente a la amplificación de fracciones.

En la división a : b, multipliquemos el dividendo y el divisor por b-1. Se tiene:

a : b = (a • b-1) : (b • b-1)

Y como b • b-1 = 1 por definición, se tiene que

a : b = (a •

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