Investigacion de ecuaciones

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Título del trabajo

Nombre del tutor en línea: 

Nombre del módulo y número de la actividad: ECUACIONES DIFERENCIALES

Numero de matrícula: AL07299

Nombre de la institución: Universidad Virtual CNCI

Lugar y fecha de entrega: 

INTRODUCCION

Hoy en día es necesario el uso de las matemáticas para predecir comportamientos en la naturaleza y los procesos con los que vivimos día con día para la elaboración de bienes y servicios que nos ayudan a desarrollarnos como seres humanos autónomos.

Las ecuaciones diferenciales, aunque no las percibimos como tal están en el día a día con nosotros y es que cada que se observa un comportamiento en el clima son utilizadas para predecir modelos meteorológicos que predigan los sistemas con los que vamos a lidiar en cuestión de clima durante los días que se analicen.

Otro ejemplo es la cuantificación de colonias de bacterias, los comportamientos de los procesos en la industria como los perfiles de temperatura en los hornos de fundición, los perfiles de velocidad de un fluido en la industria de elaboración de aceites, o simplemente para entender ciertos modelos matemáticos en la elaboración de cerveza que son de suma importancia hoy en día.

Como podemos ver las ecuaciones siempre están presentes y es por eso que el curso nos ayudara a entender que sucede con estas características ecuaciones que a veces son un tanto complejas.

RESUMEN

1.1. Modelación matemática

Un modelo matemático representa una descripción numérica y precisa de un fenómeno o sistema de la vida real.

Las hipótesis de los fenómenos implican un enunciado matemático en el cual intervienen derivadas de primer orden. Para el proceso de modelado se incluyen los siguientes pasos:

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EJEMPLO 1

Imagina que te encuentras en una habitación con una temperatura de 30° y dejas ahí un vaso de agua que inicialmente se encontraba a 100 °C, al paso de 15 minutos la temperatura baja a 80 °C. ¿Cuánto tiempo se necesitará para que la temperatura descienda a 40°?

Paso 1: Se identifican las variables.

En este caso la temperatura varía con respecto al tiempo, entonces:

Variable independiente = Tiempo (t)

Variable dependiente = Temperatura (T)

De modo que al sustituir los valores se tiene que:

La temperatura inicial al tiempo t = 0 está dada por:

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Y la temperatura inicial al tiempo t = 15 está dada por:

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Paso 2: Analizar las leyes empíricas que se pueden utilizar.

En este caso se aplicará la ley de enfriamiento de Newton.

Ley de enfriamiento de Newton

Establece que la velocidad de enfriamiento de un cuerpo es proporcional a la diferencia de las temperaturas del cuerpo y del medio ambiente.

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Donde:

T = Temperatura del cuerpo

t = Tiempo

Tm = Temperatura del medio ambiente

k = Constante de proporcionalidad

Paso 3: Plantear las ecuaciones.

La ecuación diferencial que se utilizará para resolver la situación es la siguiente:

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Y para las marcas de tiempo 0 y 15 se tienen las temperaturas:

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Después se sustituyen las condiciones iniciales:

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Y se deberá proceder a integrar con respecto a la variación de temperatura:

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Ahora que se obtuvo el valor de la constante k, se deberá proceder a integrar con respecto al cambio de temperatura para obtener el valor del tiempo a la temperatura de 40 °C:

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Por lo tanto, para un tiempo aproximado de 88.64 la temperatura de la sustancia descenderá a 40 °C.

1.2. Ecuación diferencial

Representa una igualdad que contiene derivadas de la variable dependiente y de la variable independiente.

Una ecuación diferencial representará una igualdad con una o más derivadas que pueden ser de primer o segundo orden, tales derivadas permitirán describir diferentes fenómenos.

1.3. Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en función de:

TIPO.

 ORDEN.

 LINEALIDAD.

Si una ecuación diferencial contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:

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Si una ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial parcial.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales

parciales:

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 El orden de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.

 La ecuación:

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Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

TEMA 2 RESOLUCIÓN DE DIFERENTES TIPOS DE ECUACIONES

2.1. Ecuaciones de variables separables

Una ecuación diferencial representa una igualdad que contiene derivadas de la variable dependiente y de la variable independiente.

Una ecuación diferencial de primer orden se puede resolver por integración si es posible separar la variable x junto con su diferencial dx y también la variable y con su diferencial dy.

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