Investigación de Operaciones - Procesos Poisson

Investigación de Operaciones (1/2016)
GUIA 2: Procesos Poisson

Problema 1:

Se define:

N(t) = Cantidad de potenciales consumidores ~ Poisson(λ alumnos/hora)

C(t) = Cantidad de compradores ~ Poisson(p*λ alumnos/hora)

1. [pic 2]
2. [pic 3]

Se define TC como el tiempo entre dos compras consecutivos ~ Expo(p*λ alumnos/hora)

1. [pic 4]

1. Sea V(t) : cantidad de helados vendidos en un tiempo t. Si vende solo por 8 horas y tiene un máximo de 100 helados para vender, la cantidad de helados vendidos V(8) = max(100;C(8)), por lo tanto la cantidad de helados sobrantes es 100-max(100;C(8)). Si C(8)>100 no sobran helados, mientras que si C(8)<100 entonces sobran 100 – C(8)

Para calcular el valor esperado de helados que sobran se tiene [pic 5]

Problema 2:

Se define:

N(t) = Cantidad de llamadas al centro de llamados telefónicos en un intervalo de tiempo t ~ Poisson(10t)

Ti= Tiempo entre llamadas consecutivas ~ Exponencial(10 llamadas/minuto)

1.  minutos[pic 6]
2. [pic 7]
3.  minutos[pic 8]
4. [pic 9]
5. [pic 10]

Problema 3:

Se definen:

N (t) = Cantidad de muebles hechos por Pedro ~ Poisson(10 muebles/hora)

J(t) = Cantidad de muebles hechos por Juan ~ Poisson(12 muebles/hora)

1. P(N (t=3) +  J (t=3) = 80) = [pic 11]

Ahora bien, es más simple definir un nuevo proceso M(t) = cantidad de muebles totales que fabrica la empresa durante un tiempo t, donde M(t) = N(t) + J(t) y por propiedad de agregación se tiene que M(t) distribuye Poisson con tasa 22 muebles/hora.

Se define:

 TJ= Tiempo entre fabricación muebles hechos por Juan ~ Exponencial(12 muebles/hora)

TP = Tiempo entre fabricación muebles hechos por Pedro ~ Exponencial(10 muebles/hora)

1. E(100* TJ) = 100 * E(TJ)= 100/12

c)

[pic 12]

d) Asumimos independencia entre los trabajos de Juan y Pedro.

Se define:

NC(t) = Cantidad de comedores hechos por Pedro ~ Poisson(6 muebles/hora)

NE(t) = Cantidad de escritorios hechos por Pedro ~ Poisson(4 muebles/hora)

[pic 13]

= [pic 14]

Problema 4:

N(t) = Cantidad de robos de notebooks ~ Poisson(λ notebooks/hora)

ND(t) = Cantidad de notebooks desarmados ~ Poisson((1-p)λ notebooks/hora)

NC(t) = Cantidad de notebooks comercializados  ~ Poisson(pλ notebooks/hora)

1. [pic 15]

NE(t) = Cantidad de notebooks encontradas  ~ Poisson(µ notebooks/hora)

1. E(TE) = 1/ µ, donde TE = Tiempo hasta encontrar un computador ~ Exponencial(µ notebooks/hora)
2. E(N(t=5*24) ) + R = 5*24* λ + R suponiendo una semana de 7 días

E(N(t=7*24) ) = 7*24* λ  

1. E(N(t= TE) ) = E(TE* λ) = λ / µ

Problema 5:

1. N(t) = Cantidad de familias ~ Poisson (4 familias/hora)

[pic 16]

1. Ti = Tiempo entre llegadas de familias ~ Exponencial (4 familias/hora)

E[T1+T2+T3] = E(3*T) = 3*E(T) = 3* (1/4) = 45 minutos

1. Se puede resolver directamente como una variable aleatoria binomial, donde se pide que k=3 de n=5 familias, sean de dos integrantes (p=0,5)

1. Número esperado de familias = 4 familias/hora * 5 horas = 20 familias

Dinero recaudado = 1000*20*[ (0.5*2) + (0.3*3) + (0.2*4)] = 54*1000 = 54000

1. N2(t) = Cantidad de familias  de 2 integrantes  ~ Poisson (2 familias/hora)

N3 (t) = Cantidad de familias de 3 integrantes ~ Poisson (1,2 familias/hora)

N4 (t) = Cantidad de familias de 4 integrantes ~ Poisson (0,8 familias/hora)

Pr(N4 (1) =1 y N2(1) =0 y N3(1) =0) + Pr(N2(1) = 2 y N3(1) =0 y N4(1) =0)

 Pr(N4 (1) =1)*Pr(N2(1) =0)*Pr(N3(1) =0) + Pr(N2(1) = 2)*Pr(N3(1) =0)*Pr(N4(1) =0)

1. TE = Tiempo entre llegadas de familias ~ Exponencial (4 familias/hora)

Ci = Tiempo para comer  mesa i ~ Exponencial (1 familias/hora)

P(TE < min (C1,C2,C3) ) = λE / (λE + 3λC ) = 4/7

Problema 6:

i) [pic 17][pic 18]

[pic 19]

ii)[pic 20][pic 21]

Opción 1: [pic 22][pic 23]

Opción 2:[pic 24][pic 25]

1. [pic 26]

[pic 27]

1. [pic 28]
2. No, ya que las bebidas están llegando en grupo y en un proceso Poisson solo se puede dar una llegada a la vez. Los tiempos de llegadas entre los packs de bebidas seguirán una distribución Erlang

Problema 7:

1. Sea N(t) la cantidad de pasajeros que llegan a la sala de espera. N(t) se distribuye Poisson con parámetro 20 pasajeros/hora. Se pide:

P(N(t=[0,20/60]) >= 1|N(t=[0,1])=2) = 1 - P(N(t=[0,20/60]) =0|N(t=[0,1])=2)

1 - P(N(t=[0,20/60]) = 0 y N(t=[20/60,1])=2)/P(N(t=[0,1])=2)) =

1 - P(N(t=[0,20/60]) = 0)*P(N(t=[20/60,1])=2)/P(N(t=[0,1])=2)) =

Que el 1er pasajero haya llegado dentro de los primeros 20 minutos significa que en los primeros 20 minutos llegaron 1 ó más pasajeros.

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