LA PARADOJA DE AQUILES Y LA TORTUGA

LA PARADOJA DE AQUILES Y LA TORTUGA

ALUMNA: GARCÍA GUERRERO, XIOMY SKAYURI

1. INTRODUCCIÓN:

La paradoja de Aquiles y la tortuga es una explicación de que el movimiento aparentemente puede ser una ilusión según su autor ,y que posteriormente resultaría un dolor de cabeza para muchos matemáticos y físicos darle solución sin embargo es el siglo IXI donde a través del cálculo se puede encontrar cuando Aquiles puede alcanzar a la tortuga. Esta paradoja sin embargo no sólo tiene presencia en las ciencias formales sino además que puede ser tomada para explicar la economía, tal como lo hizo Paul Krugman y Julian L.Simon en sus publicaciones

El trabajo tiene por objetivo describir y analizar en qué consiste la paradoja de Aquiles y la tortuga y cómo se le puede ilustrar esta paradoja en términos económicos, además al haber encontrado la solución a la paradoja aplicar esta respuesta a la economía peruana, determinando en cuanto tiempo la economía de la región Huancavelica puede alcanzar a la región Junín y ésta a Lima.

1. Una explicación a la paradoja de Aquiles y la tortuga

En el siglo V a.C, Zenón de Elea ofreció argumentos contradiciendo lo que todo lo que se  sabía y conocía por la experiencia física volviéndose la primera persona en la historia en demostrar que el concepto de infinito es problemático (en la  paradoja de Aquiles y la tortuga)  pues explicaba de manera crucial que el espacio y el tiempo son infinitamente divisibles.

Zenón explica en  la paradoja de Aquiles, y la tortuga que Aquiles corre para atrapar al corredor más lento (la tortuga) quien tiene una ventaja sobre Aquiles, así que si Aquiles quiere superar a la tortuga, él debe llegar al menos al lugar donde la tortuga se encuentra en la actualidad, sin embargo cuando Aquiles llega allí, la tortuga ya se habrá arrastrado a un nuevo lugar, por lo tanto Aquiles tendrá alcanzarlo a la tortuga al nuevo lugar, pero la tortuga mientras tanto nuevamente habrá avanzado y se repetirá ese comportamiento sucesivamente. Por lo tanto Aquiles nunca alcanzará a la tortuga. Lo que llevó al descubrimiento de que algo finito puede dividirse un número infinito de veces.

El problema sobre lo infinito determinado por Zenón fue explicado y resuelto  en el siglo IXI a través del análisis estándar que  supone que la longitud debe ser definido en términos de la medida, y el movimiento debe ser definido en términos de la derivada. Estas definiciones se dan en términos de la continuidad lineal. Las características más importantes sobre la continuidad lineal son:

• Está compuesta de puntos indivisibles.
• Es un conjunto realmente infinito, y no simplemente un conjunto potencialmente infinito que se hace más grande con el tiempo.
• Es  indiviso aun infinitamente divisible (es decir, es sin huecos).
• Los puntos son tan cercanos juntos que ningún punto puede tener un punto inmediatamente a su lado.
• Entre dos puntos cualesquiera hay otros puntos.
• La medida (como longitud) de un continuo no es una cuestión de sumar las medidas de los puntos ni sumando el número de sus puntos.
• Cualquier parte conectado de un continuo es también un continuo.

En cuanto al tiempo, a cada uno (punto) instante se le asigna un número real como su tiempo, y a cada instante se le asigna una duración de cero. El tiempo empleado por Aquiles para atrapar a la tortuga es un intervalo temporal, un continuo lineal de instantes, de acuerdo con la solución estándar (pero no de acuerdo a Zenón o Aristóteles). La solución patrón dice que la secuencia de los objetivos de Aquiles (las metas de alcanzar el punto donde la tortuga se encuentra) debe abstraerse de un continuo lineal de lugares puntuales a lo largo de la trayectoria de la tortuga.

Aquiles  es el corredor más rápido de la antigüedad, y debe alcanzar a la tortuga que lentamente está arrastrándose lejos de él. Ambos se están moviendo a lo largo de una trayectoria lineal a velocidad constante. Zenón afirma que Aquiles nunca alcanzará la tortuga. Él podría defender esta conclusión de varias formas, diciendo que es porque la secuencia de lugares no tiene final, o requiere demasiada distancia para viajar, o requiere demasiado tiempo de viaje, o requiere demasiadas tareas y  si creemos que Aquiles tiene éxito y que el movimiento es posible, entonces somos víctimas de la ilusión. Además Zenón  asume que el espacio y el tiempo son infinitamente divisibles.

 Probablemente Zenón defendería que la suma de las distancias a lo largo de muchas de las pistas de dónde está la tortuga debe ser infinito, que es demasiado para incluso Aquiles. Sin embargo, según la solución estándar de la suma no es infinita. Aquí está un gráfico utilizando los métodos de la solución estándar que muestra la actividad de Aquiles persigue a la tortuga y lo supera:

[pic 1][pic 2][pic 3]

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El gráfico muestra el hecho de que el camino de Aquiles es un continuo lineal y por lo tanto se compone de una infinidad real de puntos. Zenón no hace esta suposición de que el camino es un continuo lineal, siendo un error en el razonamiento de Zenón.

Aquiles recorre una distancia d1 en alcanzar el punto x1 donde comienza la tortuga, pero en el momento de Aquiles alcanza x1, la tortuga se ha trasladado a un nuevo punto de x2. Cuando Aquiles alcanza x2, después de haber pasado una distancia d2 adicional, la tortuga ha pasado a punto x3, requiriendo de Aquiles para cubrir una distancia d3 adicional, y así sucesivamente. Esta secuencia de las distancias que no se superponen es un infinito actual. La suma de sus términos d1 + d2 + d3 +... es una distancia finita que Aquiles puede fácilmente completa mientras se mueve a una velocidad constante.

Matemáticamente se puede explicar la paradoja de la siguiente manera:

Existe una posición inicial de Aquiles que coincide con el origen del sistema de coordenadas , y existe una posición incial de la tortuga que es , la velocidad de Aquiles y la tortuga son  respectivamente siendo .[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

Con el tiempo las posiciones de Aquiles  y la tortuga será:[pic 19][pic 20]

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                [pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

Para determinar si existe   tiempo de encuentro  igualamos las posiciones [pic 30][pic 31]

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