LAS GEOMETRÍAS
Enviado por Ivan Encinas • 6 de Noviembre de 2022 • Documentos de Investigación • 4.673 Palabras (19 Páginas) • 49 Visitas
[pic 1]INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE
“DR. JUAN PUJOL”
Tercer Evaluación Parcial Geometría II
LAS GEOMETRÍAS
Docente: Bordón, Paula Curso: 2do año “A” Alumnos:
Encinas, Iván
Espíndola, Omar
Lopez, José
Hipérbola
Definición como sección cónica
Si se corta un cono recto mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de
revolución se obtiene una curva abierta de dos ramas llamada hipérbola
[pic 2]
Definición como lugar geométrico
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es una constante igual a 2a y esa constante es menor que la distancia entre dos focos llamada 2c.
[pic 3]
Observando el triángulo PEl segmento = 2c por definición𝐹1𝐹2 ǁ—ǁ P | 𝐹1𝐹2|
ǁ P𝐹1 𝐹2ǁ= ±2a por definición
2a < 2c entonces 𝑐2tal que> 𝑎2 entonces= 𝑐2 − 𝑎entonces2 > 0 = +
entonces existe 𝑏2 𝑏2 𝑐2 − 𝑎2 𝑐2 𝑎2 𝑏2
Ecuación general de la Hipérbola centrada en el origen, (0, 0) y eje horizontal
Sea P(x, y) un punto cualquiera de la curva
Por definición ‖𝐹1 𝑃‖—‖𝐹2 𝑃‖= ±2a siendo 𝐹1 𝑃 = (𝑥 − 𝑐, 𝑦) y
𝐹2 𝑃 = (𝑥 + 𝑐, 𝑦)
=Por ±2adefinición de norma de un vector queda (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 − (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2
Sumando a ambos miembros (𝑥 −+𝑐)2 + 𝑦2 queda = 2a +
(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2=− (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2[pic 4][pic 5]
Elevando al cuadrado a ambos miembros queda(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
( (𝑥 + 𝑐+)2 += 𝑦42)2 += 4a (2𝑎 + (𝑥 − 𝑐)2 ++ 𝑦2)2 resolviendo+[pic 6][pic 7]
(𝑥 + 𝑐)2 𝑦2 + 𝑎2= 4 + 4a(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 (𝑥 −+ 𝑐)2 𝑦2
𝑥Simplificando sumando 2xc y restando 42 + 2 𝑥 𝑐 + 𝑐2 𝑦2 𝑎2 (𝑥 − 𝑐)2 +2a ambos𝑦2 𝑥2 −miembros queda2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2
xc - 4 = 4a𝑎[pic 8]
4Multiplicando por𝑎2 (𝑥 41−𝑎 𝑐a ambos miembros queda)2 + 𝑦2
Simplificando queda4𝑥𝑐 4−𝑎 4𝑎2 = 4𝑎 (𝑥4−𝑎𝑐)2+𝑦2 [pic 9]
Elevando al cuadrado a ambos miembros queda𝑥𝑐𝑎 – a = (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2[pic 10]
( 𝑥𝑐𝑎 – 𝑎 )2= ( (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2)2[pic 11]
( 𝑎2𝑥𝑐𝑎𝑐22 –- 2𝑎 )𝑥𝑐𝑎2=𝑎( +𝑥 𝑎−2 =𝑐) 2𝑥2+−𝑦22resolviendo𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2quedasimplificando a queda[pic 12][pic 13]
𝑥
𝑥𝑎2𝑐22 − 2𝑥𝑐 + 𝑎2 = 𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2
Restando a ambos miembros 𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2 queda
Resolviendo queda 𝑥𝑥𝑎22𝑐22−−2𝑥𝑐2𝑥𝑐++𝑐2𝑎+2 𝑦2–) ( 𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2) = 𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2 – (
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