LOGICA MATEMATICA TEORIA DE CONJUNTOS

LOGICA MATEMATICA

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Logica

Ciencia de razonamiento científico. Sistema formal base de las matemáticas, filosofía e informática.

Aristoteles uso símbolos para representar afirmaciones.

Proposiciones

Frase o afirmación declarativa que puede ser falsa o verdadera. Ejemplo: yo jugué al futbol.

Elementos fundamentales de la lógica

• Conjunciones lógicas Y:

Conjunciones lógicas es una palabra como si, no, y, o

Para representar proposiciones simples usamos letras p y q.

Si las dos opciones son verdaderas, es una conjunción verdadera

• Conjunciones lógicas O: 

Si ambas proposiciones son verdaderas, es una disyunción inclusiva

Si una de las opciones es verdadera, es una afirmación verdadera, por que una de las opcines es verdadera.

• Conjunciones lógicas XOR

Una disyunción exclusiva es si ambas proposiciones son verdaderas

• Conjunciones lógicas NO

Es el opuesto de una afirmación

• Conjuncion lógica Condicional:

Si una afirmación es verdadera, entonces la otra también es verdadera

• Conjuncion lógica Bicondicional:

Si y solo si

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• Tablas de verdad:

Indica si una proposición si es verdadera o falsa. Solamente es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas.

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• Argumentos lógicos:

Premisas y conclusión: es un argumento. Se usa un grupo de proposiciones (premisas) como evidencia para demostrar que otra proposición (conclusión) es verdadera.

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Argumentos semejantes

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• Argumentos lógicos:

Validez: Aquel en que la conclusión es una consecuencia necesaria de las premisas. Si las premisas son verdaderas la conclusión tiene que ser verdadera.

Resumen

En esta lección aprendiste que:

• La lógica es la ciencia del razonamiento correcto.
• Una proposición es una frase o afirmación declarativa que puede ser falsa (F) o verdadera (V), pero no ambas a la vez.
• Una conjunción lógica es una palabra como Y, O, NO, SI... ENTONCES, que relaciona las proposiciones entre sí.
• Cada conjunción lógica tiene un símbolo y un nombre formal según se muestra en el gráfico a continuación:
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• Una tabla de verdad muestra el valor de verdad de una proposición compuesta para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de sus proposiciones simples. Por ejemplo: 
  
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• En un argumento, se usa un grupo de proposiciones (premisas) como evidencia para demostrar que otra proposición (la conclusión) es verdadera.
• Un argumento válido es aquel en que las premisas conducen necesariamente a la conclusión. Es decir, si las premisas son verdaderas entonces la conclusión es definitivamente verdadera.
• El hecho de que un argumento sea válido no implica que la conclusión sea realmente verdadera. Las suposiciones pueden ser falsas.

TEORIA DE CONJUNTOS

Un conjunto es un grupo de elementos o miembros. Por convención los elementos se representan con una letra minúscula y los conjuntos por una mayúscula.

 ∈ significa que es un elemento del conjunto.

 ∉ significa que no es un elemento del conjunto.

 ⊆ subconjunto 

 ⊂ subconjunto propio

Diagramas de Venn: Representación de Conjuntos

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Los conjuntos se pueden representar visualmente mediante círculos en un diagrama de Venn.

Asignemos C para representar el conjunto "Personas que están en mi clase y cantan en el coro". El diagrama mostrado a continuación representa al conjunto C. Las personas que cantan en el coro se indican dentro del círculo, mientras que las personas que no cantan en el coro se indican fuera del círculo. 

Diagramas de Venn: Representación de Subconjuntos

Agreguemos un subconjunto al diagrama que creamos en la página anterior. 

R = {Personas en mi clase cuyos nombres comienzan con la letra R}.

Este conjunto tiene un único elemento: Raquel. Todos los elementos de R pertenecen a C, por lo que R es un subconjunto de C.

R ⊆ C.

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Conjunto Vacío

Un conjunto que no contiene ningún elemento recibe el nombre de conjunto vacío o conjunto nulo. Se puede representar de dos formas:

∅ o bien { }. 

El conjunto vacío es un subconjunto de todos los conjuntos. Siempre es verdadero que ∅ ⊆ A, sin importar qué elementos contiene A. Recordemos la definición de un subconjunto; no hay elementos en ∅ que no pertenezcan a A.

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