LOGISTICA

Actividad 3. Uso de propiedades de campo

Indicaciones: Resuelve los ejercicios que se te presentan a continuación.

1. Escribe en cada una de las líneas de la derecha la propiedad o axioma que corresponda sobre los números reales que se están empleando.

Partimos de considerar tres números reales, a, b y c, con c ≠ 0 tenemos que si ac = bc entonces a = b.

ac = bc Partimos de esta suposición.

c–1 (ac) = c–1 (bc) Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por c–1, pues como c ≠ 0 existe su inverso multiplicativo.

(c–1 a) c = (c–1 b) c Asociativa de la multiplicación

(a c–1) c = (b c–1) c Conmutativa de la multiplicación

a (c–1 c) = b (c–1 c) Asociativa de la multiplicación

a • 1 = b • 1 Propiedad del neutro multiplicativo

a = b Igualdad porque cualquier elemento por el neutro es él mismo.

*Después de resolver este ejercicio lo que obtienes es la ley de la cancelación de la multiplicación.

2. Escribe en cada una de las líneas de la derecha la propiedad o axioma que corresponda acerca de los números reales que se están empleando.

Partimos de considera dos números reales, a y b, para ver que si ab = 0 y a ≠ 0, entonces b = 0.

ab = 0 Partimos de esta suposición.

a–1 (ab) = a–1 • 0 Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por a–1, pues como a ≠ 0 existe su inverso multiplicativo.

a–1 (ab) = 0 Asociativa de la multiplicación

(a–1 • a) b = 0 Asociativa de la multiplicación

1 • b = 0 Elemento neutro de la multiplicación

b = 0 Propiedad de Igualdad

2. Analiza la siguiente serie de argumentos para justificar que 2 = 1.

Partimos de la idea de tomar dos números reales, a y b, que cumplan dos características: a = b y a ≠ 0.

1) a = b

2) ab = b2 Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por b.

3) ab – a2 = b2 – a2 Resta a ambos miembros de la igualdad a2.

4) a(b – a) = (b – a) (b + a) Factorizamos expresiones de ambos miembros de la igualdad. Aunque ambas expresiones se factorizaron aplicando el axioma 5 de campo, la de la izquierda fue de manera inmediata mientras que la de la derecha requirió un trabajo más amplio.

5) [a(b – a)] (b – a)–1 =

= [(b – a) (b + a)] (b – a)–1 Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por el inverso multiplicativo de (b – a) que se denota por

(b – a)–1.

6) a [(b – a) (b – a)–1] =

= [(b – a) (b + a)] (b – a)–1 Aplicamos el axioma 4 de la asociatividad en el miembro izquierdo de la igualdad.

7) a = [(b – a) (b + a)] (b – a)–1 Aquí simplificamos el miembro izquierdo aplicando el axioma 9 del inverso multiplicativo y el axioma 7 del elemento neutro para la multiplicación.

8) a

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