La derivada y sus aplicaciones

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Unidad 2

La derivada y sus aplicaciones

I.- Introducción o motivación inicial

Estimados Estudiantes:

Bienvenidos(as) a la segunda actividad virtual del módulo de Cálculo. A través de esta actividad, se revisarán las reglas básicas de derivación, como son la derivada de una constante por una función, la derivada de la potencia, de la suma y resta de funciones. También derivaremos funciones compuestas mediante la regla de la[pic 5]

cadena, como la derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas Estas nuevas herramientas permitirán calcular la pendiente de la recta tangente de una función en cualquier punto, calcular ingreso marginal y otras aplicaciones. Además, la derivada permite analizar si una función es creciente o decreciente en un intervalo determinado. También analizaremos Problemas sencillos de optimización.

Los aprendizajes y competencias esperados para esta semana son:

• Derivan funciones reales de una variable, aplicando las reglas básicas de derivación, demostrando conocimiento conceptual y operativo de la derivada y sus aplicaciones.

• Derivan funciones reales de una variable, aplicando la regla del producto y del cuociente, demostrando conocimiento conceptual y operativo de la derivada y sus aplicaciones.

• Derivan funciones reales de una variable, aplicando la regla de la cadena, demostrando conocimiento conceptual y operativo de la derivada y sus aplicaciones.

• Derivan funciones reales de una variable, aplicando las reglas de la función exponencial y logarítmica, demostrando conocimiento conceptual y operativo de la derivada y sus aplicaciones.

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• Resuelven problemas contextualizados, de máximos y mínimos, utilizando máximos y mínimos relativos.
• Resuelven problemas de optimización sencillos, utilizando el criterio de la segunda derivada.
• Resolver problemas contextualizados en la especialidad, demostrando capacidad para operar conceptual y operativamente con derivadas y sus aplicaciones y habilidad en el uso de la calculadora científica.

II.-Listado de Contenidos de la unidad

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III.-Desarrollo del tema:

Tema 1: Reglas básicas de Derivación

• Introducción del tema.

Estudiantes a continuación revisaremos las reglas básicas de derivación que serán la base para comprender de mejor forma las derivadas y sus aplicaciones y la importancia en nuestro diario vivir.

Sea y = f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x denotada por define por:

dY

dx , se[pic 10]

, con tal de que este límite exista.

Existen 4 formas de simbolizar la derivada de una función f(x)=y

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Para calcular la derivada

dY

dx , seguiremos los siguientes pasos:[pic 12]

1. Calculamos

y = f (x) y y + Δy = f (x + Δx)

1. Restamos la primera cantidad de la segunda para obtener Δy

resultado

y simplificamos el

1. Dividimos Δy entre Δx y aplicamos el límite de la expresión cuando Δx → 0

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Ejemplo:

Determine

f ′(x)  si  y =

f (x) = 3x2  + 2x + 5 evalúe f ′(3) y  f ′(−2)

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Solución:

y = f (x) = 3x2 + 2x + 5,

se tiene que.

y + Δy = f (x + Δx) = 3⋅ (x + Δx)2 + 2 ⋅ (x + Δx) + 5

= 3⋅ (x2 + 2 ⋅ x ⋅ Δx + Δx2 ) + 2 ⋅ (x + Δx) + 5

= 3x2 + 6 ⋅ x ⋅ Δx + 3⋅ Δx2 + 2x + 2 ⋅ Δx + 5

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