Las propiedades de un determinado desarrollo integral

LA INTEGRAL

¿QUE ES LA INTEGRAL?

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de lasmatemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Aplicación lineal definida sobre un conjunto de funciones y cuyo conjunto imagen está formado por número, funciones o clases de funciones. Dada una función f(x) real y continua en un intervalo cerrado [a, b], se entiende por integral definida de la función entre los puntos x1 = a y x2 = b al límite integral2; donde integral3 se obtiene haciendo una partición del intervalo [a, b] en n. partes de la siguiente forma: x0 = a y x1, x2,... xn-1, xn = b y calculando la suma: integral4 donde zi es un número comprendido entre xi y xi+1, e integral5 Por su construcción, la integral, I, representa el área comprendida entre la curva y el eje de abcisas entre los puntos a y b. La integral definida se simboliza por integral6 Se dice que a y b son el límite inferior y superior de integración respect. Y f.(x) el integrando. Se dice que una función, l (x), es primitiva de otra,f(x), cuando la derivada de la primera es igual a la segunda. Se llama integral indefinida de una función a cualquier primitiva de esta.

Integral definida Área limitada por una curva, el eje de abscisas y dos rectas de ecuaciones x=a y x=b.

integral impropia La definida que tiene por lo menos uno de los límites de integración infinito y cuyo valor es un número finito.

Integral indefinida V. integral.

Integral inmediata Aquella en que el integrando es la derivada de una función sencilla conocida.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

A límite inferior de la integración.

B límite superior de la integración.

F(x) es el integrando o función a integrar.

Dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

5. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales•

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:

que depende del límite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.

Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].

¿QUE PERMITE CALCULAR LA INTEGRAL?

Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones.

El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado. La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.

Gráfica 4.

Como podemos ver en la Gráfica 4, el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior.

Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así:

Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral definida.

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Ya está visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar áreas, pero ¿será aplicable para hallar volúmenes formados por rotación de una función?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración definida. Más adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del área, a una tercera dimensión.

Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su base por su altura.

Si

Método de los discos

Gráfica 5.

Como ya vimos, el volumen de un cilindro, ahora nos queda más fácil comprender el concepto de volumen por el método de los discos. Como sabemos las dimensiones del disco diferencial (Gráfica 5.), son muy parecidas a las de un cilindro, de hecho el disco es prácticamente un cilindro cuya altura es mucho menor al radio de su base. De esto podemos deducir que si queremos hallar el volumen del sólido de la gráfica, es necesario sumar los volúmenes de los discos que quepan dentro del sólido y si llevamos esa cantidad, hacia el infinito, igual que con el área, obtendremos la mejor aproximación del volumen y para esto ya vimos

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