Leyes de Kepler

LEYES DE KEPLER

Tras haber analizado durante varios años una gran cantidad de datos empíricos, el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630) formuló tres leyes que describen el movimiento planetario de los planetas alrededor del Sol. Estas leyes se enuncian así:

Primera Ley: La órbita de cada planeta es una elipse que tiene al Sol en uno de sus focos.

Segunda Ley: El vector que va del centro del Sol al del planeta en movimiento describe áreas iguales en tiempos iguales.

Tercera Ley: Si el tiempo que requiere un planeta para recorrer una vez su órbita elíptica es  y el eje mayor de tal elipse es , entonces [pic 1][pic 2][pic 3]

Unos cincuenta años más tarde, Sir Isaac Newton (1642-1727) demostró que las Leyes de Kepler son consecuencia de su Ley de la Gravitación Universal y de su Segunda Ley del Movimiento. La aportación de estos dos hombres fue extraordinaria porque estas leyes explicaron todas las observaciones astronómicas que se habían realizado hasta esa fecha.

Demostraremos la Primera Ley de Kepler usando vectores. Como la fuerza gravitatoria que el Sol ejerce sobre un planeta es mucho mayor que la ejercida por otros cuerpos celestes, se despreciarán todas las otras fuerzas que actúan sobre un planeta. Desde este punto de vista sólo hay que considerar dos objetos: el Sol y un planeta que gira alrededor de él.[pic 4]

 Es conveniente que introduzcamos un sistema coordenado con el centro de masa del Sol en el origen O, como podemos ver en la Figura  1. El punto P representa el centro de masa del planeta. Para simplificar la notación, denotaremos al vector de posición de P por r en vez de  r( t), y usaremos v y a para denotar la velocidad r’(t) y la aceleración r’’(t), respectivamente.[pic 5]

Antes de iniciar con las demostraciones correspondientes a las Leyes de Kepler, vamos a probar que el movimiento del planeta se realiza en un plano. Si se define , entonces  es un vector unitario que tiene la misma dirección de r. De acuerdo con la Ley de la Gravitación de Newton, la fuerza F de atracción gravitatoria sobre el planeta está dada por: [pic 6][pic 7]

[pic 8]

Donde  es la masa del Sol,  la del planeta y  es la constante de la gravitación universal. La Segunda Ley del Movimiento de newton afirma que[pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12]

Si igualamos estas dos expresiones de   y obtenemos  obtenemos: [pic 13][pic 14]

[pic 15]

Esto demuestra que  es paralela a   y por lo tanto, . Además, como , podemos ver que: [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Donde  es un vector constante. El vector  desempeñará un papel importante en la demostración de las Leyes de Kepler. Como , el vector  es perpendicular a  para todo valor de t. Esto implica que la curva trazada por P está en un plano, es decir, la órbita del planeta es una curva plana.[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

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