Limites Calculo

Límites y continuidad

LÍMITES El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

Definición de límite Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado. Ejemplo: En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x): x f (x) Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). O sea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante. 1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1 2.61 2.9601 2.996001 2.99960001 3.00040001 3.004001 3.0401 3.41 |x 2| | f (x) 3| |1.9-2| = 0.1 |1.99-2| = 0.01 |1.999-2| = 0.001 |1.9999-2| = 0.0001 |2.0001-2| = 0.0001 |2.001-2| = 0.001 |2.01-2| = 0.01 |2.1-2| = 0.1 |2.61-3| = 0.39 |2.9601-3| = 0.0399 |2.996001-3| = 0.003999 |2.99960001-3| = 0.00039999 |3.00040001-3| = 0.00040001 |3.004001-3| = 0.004001 |3.0401-3| = 0.0401 |3.41-3| = 0.41 De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función f (x) cuando x tiende a 2, es 3. Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:

Definición épsilon-delta Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista. Ejercicios resueltos (aplicando la definición épsilon-delta) En los ejercicios 1 a 4, demuestre que el límite es el número indicado aplicando la definición Épsilon-delta:

...