Logica Matematica

LÓGICA MATEMÁTICA

ACTIVIDAD 1

APROPIANDOME DE LOS CONCEPTOS Y LA TERMINOLOGÍA BÁSICA DE LA LÓGICA MATEMÁTICA

Objetivo: identificar y conocer la terminología y la simbología utilizada en el curso.

Con su grupo de trabajo desarrolle el siguiente taller:

1- Definir y dar un ejemplo de los siguientes conceptos:

a. CONCLUSIÓN

La idea principal de este trabajo es que el alumno aprenda el concepto de proposición, la forma en que se pueden formar proposiciones compuestas usando los conectores lógicos, representar enunciados por medio de simbología lógica, conocer los conceptos de tautología, equivalencia lógica, regla de inferencia. Realizar demostraciones de teoremas por medio del método directo y contradicción. Pero con problemas que le sean familiares e interesantes. Se trata de que en cada uno de los subtemas participe proponiendo sus propios ejemplo y que sobre todo al final de la unidad él tenga la habilidad, confianza e iniciativa para inferir posibles soluciones.

Todo enunciado puede ser planteado en términos de teoremas. Un teorema por lo general es resultado de un planteamiento de un problema, este planteamiento debe tener el siguiente formato.

(p1 Ù p2 Ù .......Ù pn) Þ q

Como se establece p1, p2 ,......,pn son hipótesis (o premisas) derivadas del mismo problema y que se consideran válidas. Pero además deberán conectarse con el operador And (Ù ), lo cual implica que p1 es cierta y (Ù ) p2 es verdad y (Ù )...... y pn también es cierta entonces (Þ ) la conclusión (q) es cierta. Para realizar la demostración formal del teorema se deberá partir de las hipótesis, y después obtener una serie de pasos que también deben ser válidos, ya que son producto de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hipótesis y reglas de inferencia pueden aparecer en una demostración formal, sino también tautologías conocidas. En el teorema anterior cada uno de los pasos p1, p2,...pn son escalones que deberán alcanzarse hasta llegar a la solución.

Lo mismo ocurre con todo tipo de problemas que se nos presentan en la vida, antes de llegar a la solución debemos alcanzar ciertas metas (p1,p2,....pn) hasta llegar al objetivo o conclusión (q). Pero una vez que logramos el objetivo debemos plantearnos nuevos objetivos que nos permitirán superarnos.

Dependiendo del área de interés al estudiante puede transportad dichos conocimientos, de tal manera que le auxilien para entender y resolver otro tipo de problemas. En el caso de computación cada línea de un programa se obtiene inconcientemente aplicando una regla de inferencia y por lo tanto cada instrucción tiene su orden en que debe de ir colocada, si se cambia esa línea seguramente el resultado ya no será igual. Pero hay tantas formas de resolver un problema por medio de un programa como alumnos distintos tenga un maestro.

Una demostración formal equivale a relacionar esquemas para formar estructuras cognitivas. Sí el alumno sabe inferir soluciones lógicas, estará en condiciones de resolver todo tipo de problemas.

Uno de los objetivos principales del constructivismo, es la construcción del conocimiento. El tema de "lógica matemática", se presta para que el alumno pueda realizar los relacionamientos entre las distintas proposiciones, esto permite crear nuevas formas de resolver problemas en distintas ramas: matemáticas, física, química pero también en las ciencias sociales y por su puesto cualquier problema de la vida real. Porque cada vez que nos enfrentamos a un problema, manipulamos la información por medio de reglas de inferencia que aunque no estén escritas debemos respetar. Cada vez que realizamos una actividad empleamos la lógica para realizarla, quizá algunos realicen dicha actividad por caminos más corto, otros realizan recorridos más largos, pero al fin de cuentas lo que importa es llegar al resultado. Si se le da la confianza al alumno para que cree e innove, su estructura cognitiva seguramente va a crecer.

b. VALIDEZ

La validez es una propiedad que tienen los argumentos cuando las premisas implican la conclusión. Si la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas, se dice que el argumento es deductivamente válido. Algunos consideran estas dos nociones idénticas y usan ambos términos indistintamente. Otros, sin embargo, consideran que puede haber argumentos válidos que no sean deductivamente válidos, como las inducciones. En cualquier caso, de las inducciones a veces se dice que son buenas o malas, en vez de válidas o inválidas.

Ejemplos de argumentos deductivamente válidos son los siguientes:

1. Si está soleado, entonces es de día.

2. Está soleado.

3. Por lo tanto, es de día. 1. Si es lunes, entonces es martes.

2. Es lunes.

3. Por lo tanto, es martes. 1. Todos los planetas giran alrededor del Sol.

2. Marte es un planeta.

3. Por lo tanto, Marte gira alrededor del Sol.

Nótese que para que un argumento sea deductivamente válido, no es necesario que las premisas o la conclusión sean verdaderas. Sólo se requiere que la conclusión sea una consecuencia lógica de las premisas. La lógica formal establece únicamente una relación condicional entre las premisas y la conclusión. Esto es: que si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es (esta es la caracterización semántica de la noción de consecuencia lógica); o alternativamente: que la conclusión sea deducible de las premisas conforme a las reglas de un sistema lógico (esta es la caracterización sintáctica de la noción de consecuencia lógica). Si un argumento, además de ser válido, tiene premisas verdaderas, entonces se dice que es sólido.

No debe confundirse la validez —una propiedad de los argumentos—, con la validez lógica —una propiedad de las fórmulas. Se dice que una fórmula tiene validez lógica, o que es lógicamente válida, cuando es verdadera bajo todas las interpretaciones posibles del lenguaje al que pertenece. Por lo demás, el término validez lógica está cayendo en desuso frente al término verdad lógicapara designar a estas fórmulas.

En los sistemas en los que vale el teorema de la deducción, todos los argumentos válidos pueden transformarse en fórmulas lógicamente válidas de la forma , donde las P son las premisas del argumento y C su conclusión. En los sistemas donde vale el converso del teorema, todas las fórmulas lógicamente válidas con la forma pueden transformarse en argumentos válidos con las P como premisas y C como conclusión. Esto muestra que existe una estrecha relación entre la validez de los argumentos y la validez lógica de las fórmulas.

c. RAZONAMIENTO

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