Logica Matematica

MATEMATICA BASICA 1

Ing. G. RAMIRO PRO AÑO VITERI, Msc.

PROFESOR, ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

CAPITULO 1

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA

1.1 Proposiciones

Proposición

Es una expresión verbal o escrita en la cual se afirma o se niega algo.

Ejemplo 1 Son enunciados: El Metal es transparente

3 -1 =2

1+1=4

El es más alto que yo

1>2 y1=2

No son enunciados: ¿Cómo te llamas?; ¡Ven!

Valor de Verdad:

Una proposición es verdadera o es falsa, y decimos que su valor de verdad o de certeza es verdadero (V) o falso (F) respectivamente.

Si no se puede determinar si una proposición es verdadera o falsa, la analizaremos considerando sus posibles valores de verdad.

Ejemplo 2 Consideremos la proposición: 1+1=2.

No podemos determinar su valor de verdad pues, nos falta una información adicional; diremos únicamente que puede ser verdadera o falsa.

En este tema consideraremos a los "números" 0,1,2,3, 4,..,..n, como enteros y usaremos las propiedades que intuitivamente hemos aceptado para estos "números". Bajo esta consideración la proposición "1+1=2" es verdadera.

Ejemplo 3 1 = 2 falsa

1+3 > 2 verdadera

2-5 = 3 falsa

El valor de certeza de la proposición compuesta depende de la propiedad de los operadores que la conforman. Por ello determinaremos los operadores y sus propiedades

Proposiciones abiertas

Las proposiciones abiertas o funciones proposicionales son aquellas cuyo valor de verdad depende del dato necesario o valor por el que se reemplace a la variable

Ejemplo 4 Analicemos la proposición 2 + x = 4

Si x = 2 2+2=4 es una proposición verdadera

Si x = 1 2+1=4 es una proposición falsa

En conclusión: 2 + x =4 es una proposición abierta o una función proposicional

Términos Lógicos:

Los términos lógicos son "y", "no", "o",”o”, "Si..., entonces","... si y sólo si..."

Proposición Simple:

Una proposición es simple si y sólo si no tiene términos lógicos. Se la puede representar generalmente por p, q, r, s, o t.

Ejemplo 5 A la proposición "1+2=3", la podemos simbolizar por p,

así: p: 1+2 = 3

1.2. Proposiciones compuestas, operadores lógicos

Proposición Compuesta:

Una proposición es compuesta siempre y cuando (si y sólo si) está formada por una o más proposiciones simples afectadas por términos lógicos.

Ejemplo 1 1=2 o 1>2

Si 2 – 2 = 0, 2 = 2

Negación:

La negación de una proposición p, se representa por " " y se lee: "No es verdad que p", "Es falso que p", o "no p".

p es verdad si y sólo si p es falsa.

La negación no enlaza proposiciones simples por lo que es absurdo proponer

Ejemplo 2 2 + 1 4, se puede representar así: : 2+1 4

p: 2 +1 = 4 es una proposición falsa , por lo que

: 2 + 1 4 es verdadera

Conjunción:

La conjunción de dos proposiciones, p y q, se representa por "p q";

y se lee p y q.

p q es verdadera si y sólo si p es verdad y q es verdad.

Ejemplo 3 Sea la proposición:" 2 +1=3 y 4 < 8". Si p: 2+1 = 3 y

q: 4 <8. La proposición dada se representa por: p y q el término lógico es "y”;, si se representa por p q el operador lógico es " "; p q es una proposición verdadera.

Disyunción:

La disyunción de dos proposiciones p, q se representa por "p o q", "o p o q".

Analizando la proposición "o estoy en Quito o estoy en Guayaquil", se observa que solamente una de las proposiciones puede cumplirse, pues una persona no puede estar en dos lugares a la vez. En la proposición "o leo o escucho" existe la posibilidad de que se cumplan las dos proposiciones a la vez, o solamente una de ellas.

Este análisis implica que en el lenguaje cotidiano se puede interpretar de dos formas este término (operador) lógico.

Disyunción Inclusiva:

La disyunción inclusiva o simplemente disyunción se representa por o, "v". y es falsa únicamente cuando las dos proposiciones que la conforman son falsas.

p v q es falsa si y sólo si p es falsa y q es falsa.

Ejemplo 4 4>2o1+1=3 V (Verdadera)

4>6o2+2=5 F (Falsa)

Disyunción Exclusiva:

Se representa por o, o por " v ". "p o q" o " p v q " se lee:

"p o q pero no ambas"

p v q es verdad si y sólo si (p es verdad y q es falsa) o

( p es falsa y q es verdad).

Ejemplo 5

3+3 > 4 v 7< 3

V F

V

3+2 = 6 o 5-2 = 2

F F

F

5 + 1=3 v 1-3< 1

F V

V

2>1 o -3<3

V V

F

EJERCICIOS

1. Determine el valor de verdad de:

a) 4-2 6 o-3<-2,y2 2

b) 3+2 5 o 5-4 = 1, y 3 + 2 5

c) Sea p: 2 > 6 q: 2+2 3, r: 1+ 5 = 2.

2. Simbolice y encuentre el valor de verdad de:

d) 4+5=9 o 3+2=5, pero no ambas

e) 4+5=9 o 4+2=6, y 4+5=9 y 3+2=6

f) 4+3 7o4+2 = 6, y4+2 6 o 4+3 = 7

g) No es verdad que 3+2 = 5 o 4+2 = 6

h) No es verdad que: "3+2 =5 o 4+2 = 6"

3. SI p: "3 >2" y q: "1 - 2 - 1", r: "4+2 = 6". escriba en palabras las siguientes proposiciones:

a) p q (q y p) c) p ( qvr)

d) ( r v p) v q e) (p q)v (q v r)

4. Determine el valor de verdad de los siguientes enunciados

i) 1<-1 o 1 1

j) (1 +1 = 5 o3+4 7) y 2+3 4

k) 1+2 6 o(4+2 6 y2>2)

d) x+1 1

1.3. Proposiciones condicional y bicondicional

Condicional:

La proposición condicional entre p y q se representa por p q y se lee de cualquiera de las siguientes maneras:

Si p, entonces

...