MATRICES (DEFINICIÓN)

MATRICES

MATRICES (DEFINICIÓN)

Llamaremos matriz de orden (mxn) sobre el cuerpo de los números reales, a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas encerrados en paréntesis de la siguiente forma:

[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

[pic 10]

           (Representación algebraica de una matriz)

Consideraciones:

1. Las matrices se designan con una letra mayúscula, como A, B, C, D…
2. Las filas se enumeran de arriba hacia abajo y las columnas de izquierda a derecha.
3. Todos los elementos (entrada) de la matriz A se simbolizan con la misma letra, "a”, en minúscula, y dos subíndices i, j que indican su posición en la matriz:

• i: La fila a la que pertenece el elemento, i = 1, 2,…, m. (m filas)
• j: La columna a la que pertenece el elemento, j = 1, 2,…, n. (n columnas)

1. De manera general  representa el elemento ubicado en la fila   columna  con .[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]
2. La cantidad de elementos de la matriz (dimensión) se determina multiplicando la cantidad de filas por la cantidad de columnas.

Ejemplos:

[pic 15]

ORDEN DE UNA MATRIZ

        De manera general, una matriz cualesquiera A que tenga m filas y n columnas diremos que es de orden m por n lo cual indicaremos como. Podemos escribir la matriz como:[pic 18]

  O también,  [pic 19][pic 20]

IGUALDAD DE MATRICES

         Dos matrices son iguales si y solo si, son del mismo orden y los elementos en la misma posición son iguales.

Matemáticamente:

[pic 21]

La idea es que dos matrices son diferentes, si difieren en al menos un elemento.

Ejemplo:

      es igual a    [pic 22][pic 23]

Luego .[pic 24]

MATRICES ESPECIALES

Como te podrás ir dando cuenta, existen infinitas matrices de distinto orden, con elementos pertenecientes a los números Reales.

Tenemos un grupo de matrices que, debido a los elementos que las componen y a la forma en que están ubicados, cumplen con propiedades especiales. Lo que facilita mucho las cosas cuando se trata de resolver algún problema práctico (que verás más adelante).

• Matriz Fila: Matriz formada por una sola fila, (m = 1)

[pic 25]

Ejemplos:  

                  [pic 26][pic 27]

• Matriz Columna: Matriz formada por una sola columna, (n = 1)

[pic 28]

Ejemplos:

               [pic 29][pic 30]

• Matriz Nula: Es aquella cuyos elementos son todos nulos. Se representa con la letra O mayúscula.  

[pic 31]

Ejemplos:

[pic 32]

        Recordar  , porque  es una matriz y 0 es una constante.[pic 33][pic 34]

• Matriz opuesta: La matriz opuesta de una matriz  es otra matriz del mismo orden cuyos elementos son los de la matriz A multiplicados por -1.[pic 35]

[pic 36]

Ejemplo:

[pic 37]

• Matrices traspuestas: Dada una matriz de orden mxn, su traspuesta es otra matriz que se representa por  de orden nxm y se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por columnas.[pic 38][pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

        Ejemplo: [pic 42]

[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

        Observa que la traspuesta de la matriz traspuesta es la matriz original.[pic 48]

• Matriz rectangular (no cuadrada): Es la matriz que posee diferente número de filas que de columnas (mn). [pic 49]

Ejemplo:

[pic 50]

• Matriz cuadrada: Es la matriz que posee igual número de filas que de columnas (m = n).

Ejemplos:

[pic 51]

En las matrices de este tipo podemos escribir el orden  y se dice que es una matriz de orden m.[pic 52]

  Elementos característicos de una matriz cuadrada:

• Elementos principales: son aquellos que tienen igual número de fila que de columna [pic 53]
• Diagonal principal: es la diagonal formada por los elementos principales.
• Diagonal secundaria: es la otra diagonal de la matriz.
• Elementos conjugados: son aquellos que tienen los mismos subíndices, pero en orden contrario ( es el conjugado de  )[pic 56][pic 57][pic 54][pic 55]

[pic 58][pic 59]

[pic 60][pic 61][pic 62]

• Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada en donde los elementos que quedan por debajo de la diagonal principal son todos ceros, [pic 63]

[pic 64]

Ejemplos:

[pic 65]

• Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada en donde los elementos que quedan por encima de la diagonal principal son todos ceros, [pic 66]

[pic 67]

Ejemplos:

[pic 68]

• Matriz Diagonal: Es toda matriz cuadrada donde los elementos que no están es la diagonal principal son todos nulos,  Se trata de una matriz que es simultáneamente matriz triangular superior e inferior.[pic 69]

Ejemplos:

[pic 70]

• Matriz Identidad: Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad,    Se representa por la letra, mayúscula.[pic 71][pic 72]

        Ejemplos:

[pic 73]

• Matriz Escalar: Es una matriz diagonal en la que todos los elementos son iguales y distintos de 1.

Ejemplos:

[pic 74]

• Matriz simétrica: Se denomina matriz simétrica a aquella matriz cuadrada que es igual o idéntica a su matriz traspuesta. Teniendo en cuenta cuando dos matrices son iguales o idénticas, se tiene que:

[pic 75]

Consideraciones:

1. No puede haber matrices no cuadradas que sean simétricas, por lo que es condición necesaria que sea cuadrada.
2. Las matrices diagonales son simétricas.

Ejemplos:

La matriz       es simétrica; ya que         [pic 76][pic 77]

• Matriz Antisimétrica: Se denomina matriz antisimétrica a aquella matriz cuadrada cuya traspuesta coincide con su matriz opuesta. Teniendo en cuenta cuando dos matrices son iguales o idénticas, se tiene que:

 [pic 78][pic 79]

Por consiguiente, los elementos de la diagonal de una matriz antisimétrica deben ser nulos, ya que en caso contrario es imposible que un número sea igual a sí mismo cambiado de signo.

Ejemplos:

[pic 80]

OPERACIONES CON MATRICES

• Suma: Dadas las matrices  y  la suma de  y  es la matriz   tal que:[pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85]

[pic 86]

        Los elementos se obtienen sumando a cada elemento de la primera matriz  el correspondiente elemento de la segunda matriz sumando, .[pic 87][pic 88]

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