MOVIMIENTO DE CUERPO RÍGIDO: TRASLACIÓN Y ROTACIÓN.

MOVIMIENTO DE CUERPO RÍGIDO: TRASLACIÓN Y

ROTACIÓN.

Concepto de sólido rígido

Entendemos por sólido rígido un sistema de partículas en el que la distancia

entre dos cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo.

Los cuerpos sólidos que manejamos se deforman siempre, en mayor o menor gra-

do, cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo,si éstas

son suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables y,

entonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido

rígido es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe.

En este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólido

real, al igual que lo es la partícula o punto material.

Consideremos un sólido rígido y un sistema de coordenadas, xyz, como se

muestra en la Figura. Indicaremos por ri y rj los vectores de posición de dos

puntos, Pi y Pj , del sólido; la condición geométrica de rigidez se expresa por:

|ri − rj|2 ≡ (ri − rj) • (ri − rj ) = cte. (5.7)

que es equivalente a |ri − rj | = cte., ya que la raíz cuadrada de una constante es

otra constante.

5. Cinemática del punto y del cuerpo rígido

La posición del sólido con respecto al sistema de ejes coordenados queda perfec-

tamente determinada si conocemos la posición de tres cualesquiera de sus puntos,

no alineados, como los puntos 1, 2 y 3 que se indican en la Figura . Para especi-

ficar la posición de cada uno de ellos se necesitan tres parámetros o coordenadas;

de modo que en total necesitamos, aparentemente, nueve parámetros o coordena-

das para especificar la posición del sólido en el espacio. Los tres puntos que hemos

tomado como referencia están ligados por las condiciones de rigidez expresadas

por ; esto es, tres ecuaciones

que nos permiten despejar tres incógnitas en función de las demás, de modo que

el número mínimo de parámetros o coordenadas necesarias para especificar la

posición del sólido es solamente seis. Decimos que el sólido rígido posee seis grados

de libertad.

Condición cinemática de rigidez

Para describir el movimiento de un sólido rígido deberíamos describir el movi-

miento de cada uno de los puntos o partículas materiales que lo constituyen. La

situación puede parecernos demasiado complicada pero, afortunadamente, la pro-

pia condición de rigidez impone ciertas restricciones al movimiento de los distintos

puntos materiales del sólido, de modo que la situación se simplifica enormemente.

La ec. 5.9 expresa un resultado importante:

al no ser nulos ninguno de los vectores que intervienen en el producto escalar,

han de ser perpendiculares entre sí. Dicho de otro modo: todo vector con sus

extremos fijos en el sólido rígido (ya que el rij es válido para cualquier par de

puntos constituyentes del sólido) es perpendicular a su derivada con respecto al

tiempo (i.e., a vij ).

La ec. 5.9 puede escribirse en la forma:

rij • vi = rij • vj (5.9)

o también

rij

rij • vi =

rij

rij • vj

(5.10)

ecuación que expresa la igualdad entre las proyecciones de las velocidades de los

puntos Pi y Pj sobre la recta que los une. Este resultado constituye la condición

cinemática de rigidez que se enuncia así:

Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes al sólido rígido

dan la misma proyección sobre la recta que los une.

Manifiestamente, la condición cinemática de rigidez expresa la imposibilidad

de que se modifique la distancia entre dos puntos cualesquiera del sólido en el

transcurso del movimiento de éste, ya que al ser siempre sus velocidades iguales

en la recta que los une, es imposible que alguno se acerque al otro.

El movimiento más general del sólido rígido puede considerarse como la super-

posición de dos tipos de movimiento básicos: de traslación y de rotación.

Movimiento de traslación

El movimiento de traslación es el más sencillo que puede realizar el sólido

rígido. Desde un punto de vista geométrico, lo podemos definir del modo siguiente:

Se dice que un sólido rígido se encuentra animado de un movimiento de

traslación cuando todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de

aquél permanece paralelo a si mismo en el transcurso del movimiento.

Movimiento de traslación. En el movimiento de traslación todos

los puntos del sólido tienen la misma velocidad.

Consideremos un sólido rígido animado de un movimiento de traslación, como

se muestra en la Figura. En virtud de la condición geométrica de rigidez, el

vector rij = ri − rj debe mantener constante su módulo en el transcurso de cual-

quier movimiento y, además, en virtud de la definición geométrica del movimiento

de traslación, también ha de mantener constante su dirección; entonces, siendo c

un vector constante, se puede escribir:

ri − rj = c (5.12)

y derivando con respecto al tiempo:

ri − rj = 0 ⇒ vi = vj (5.13)

constituyendo esta igualdad la condición cinemática del movimiento de traslación,

esto es:

Todos los puntos de un sólido rígido animado de un movimiento de

traslación tienen, en cada instante, la misma

...