Ecuaciones del movimiento de un cuerpo rígido

Ecuaciones del movimiento de un cuerpo rígido

Movimiento angular de un cuerpo rígido en el plano

Considérese una placa rígida en movimiento plano. Si se supone que la placa se compone de un gran número de partículas P. de masa Δm,y. según la ecuación de la sección (16.4) se observa que la cantidad de movimiento de la placa alrededor de su centro de masa G se puede calcular considerando los momentos con respecto a G de la cantidad de movimiento de las partículas de la placa con respecto a cualquier de los sistemas.

Movimiento de un cuerpo rígido (traslación y rotación)

Movimiento de rotación

Un cuerpo rígido posee un movimiento de rotación pura, cuando cambia su orientación mientras se mueve, de tal forma que todas las partículas que lo conforman describen trayectorias circulares con centro en el eje de rotación.

En estas condiciones, el centro de rotación permanece fijo respecto a un sistema de referencia fijo en tierra.

Como se ilustra en la figura 4.3, mientras el cuerpo rota alrededor de un eje fijo que pasa por el punto O, las partículas i y j describen circunferencias concéntricas con centro en el eje que pasa por dicho punto.

rotación, es decir, el movimiento más general de un cuerpo rígido, se puede considerar como una combinación de traslación y rotación.

Lo anterior, permite encontrar un sistema de referencia en traslación, pero no rotante, respecto al cual el movimiento parezca solamente de rotación.

Movimiento de traslación

Como se analizó en las unidades anteriores, se presenta un movimiento de traslación pura cuando el cuerpo cambia de posición sin cambiar su orientación, es decir, todos los puntos del cuerpo sufren el mismo desplazamiento a medida que transcurre el tiempo. De acuerdo con la figura 4.2, la partícula A y el centro de masa C.M., han tenido el mismo desplazamiento; esta es la razón por la cual, cuando se analiza el movimiento de traslación, es suficiente considerar el movimiento del centro de masa del cuerpo.

Es posible demostrar que el centro de masa, en lo que a traslación se refiere, se comporta como si toda la masa estuviera concentrada en dicho punto y como si todas las fuerzas externas actuaran sobre él.

Por ello, para analizar el movimiento de traslación de un cuerpo rígido se utilizan los mismos métodos empleados para la dinámica de una partícula, teniendo en cuenta que el centro de masa es la partícula de interés.Osea, para el movimiento de traslación de un cuerpo rígido de masa constante m, la segunda ley de Newton adquiere la forma

F = mac,

donde F es la fuerza neta o resultante y ac la aceleración del centro de masa del cuerpo.

Segunda ley de Newton

La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera:

F = m a

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

F = m a

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2, o sea,

1 N = 1 Kg • 1 m/s2

La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m • a. Vamos a generalizar la Segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa.

Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es la cantidad de movimiento que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:

p = m • v

La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal. Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg•m/s . En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera:

La Fuerza que actua sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir,

F = dp/dt

De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de movimiento y que como se deriva un producto tenemos:

F = d(m•v)/dt = m•dv/dt + dm/dt •v

Como la masa es constante

dm/dt = 0

y recordando la definición de aceleración, nos queda

F = m a

Trabajo y energía

Trabajo

Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.

Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento dr, yq el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.

El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales

Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que relaciona la componente tangencial de la fuerza Ft, y el desplazamiento s.

Energía

Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.

En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial.

En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.

Se define energía cinética como la expresión

El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética.

Impulso y cantidad

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