Manometro

Dos tubos en forma de U conectados

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Fluidos

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Ciclo de histéresis

Planteamiento del sistema de ecuaciones

Solución del sistema de ecuaciones

Actividades

Referencias

En esta página, se propone un ejercicio de aplicación de

la ecuación fundamental de la estática de fluidos

de la transformación isotérmica de un gas ideal

Comenzamos con dos tubos en forma de U, de sección uniforme S, que se llenan con agua, el tubo izquierdo hasta una altura h1 y el tubo derecho hasta una altura h2, tal como se muestra en la figura.

A continuación, conectamos el extremo derecho del tubo izquierdo, y el extremo izquierdo del tubo derecho, con otro tubo de la misma sección. Tenemos una burbuja de aire a presión atmosférica Pa (en color amarillo) atrapada entre las superficies libres de alturas h1 y h2 de las dos ramas más próximas de los tubos en forma de U.

La longitud de la burbuja es La=2H-h1-h2+d. Siendo H la altura de los tubos en U, y d la separación entre los mismos, tal como se muestra en la figura

Añadimos un volumen V=S·x de agua a la rama izquierda del primer tubo, y observamos los niveles del agua en las ramas de los dos tubos, el volumen y la presión de la burbuja.

Planteamiento del sistema de ecuaciones

Los datos del problema son:

Las alturas iniciales del líquido de las dos ramas del tubo en U son

a la izquierda h1.

a la derecha h2.

Longitud inicial de la burbuja de aire La

Presión inicial del aire en la burbuja Pa=1.013·105 Pa

Volumen de líquido S·x que se añade a la rama izquierda del primer tubo en U.

Las incógnitas son las alturas del líquido en cada rama de los dos tubos en forma de U

izquierda del primer tubo, h1i

derecha del primer tubo, h1d

izquierda del segundo tubo, h2i

derecha del segundo tubo, h2d

Longitud final de la burbuja Lf

Presión final de la burbuja Pf

Para resolver el problema, tenemos que plantear un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas.

Si consideremos el agua como fluido incomprensible, tendremos que

La longitud final del líquido en el segundo tubo en U no habrá cambiado

h2i+h2d=2h2 (1)

Al primer tubo se la añade una longitud x de agua, y por la misma razón se cumplirá que

h1i+h1d=2h1+x (2)

Al estar el fluido en equilibrio, coincidirán las presiones en el origen por la rama izquierda del primer tubo debidas a la atmósfera Pa y a la columna de líquido de altura h1i y por la rama derecha debidas a la presión Pf de la burbuja y a la altura de la columna de líquido h1d. Si ρ es la densidad del agua, y g la aceleración de la gravedad la ecuación fundamental de la estática de fluidos se escribe:

Pa+ρgh1i=Pf+ ρgh1d (3)

Coincidirán también las presiones en el origen por la rama derecha del segundo tubo debidas a la atmósfera Pa y a la columna de líquido de altura h2d y por la rama izquierda debidas a la presión Pf de la burbuja y a la altura de la columna de líquido h2i

Pa+ρgh2d=Pf+ ρgh2i (4)

La burbuja de aire tiene una presión inicial Pa y un volumen inicial S·La, una presión final Pf y un volumen final S·Lf. Suponiendo una transformación isotérmica entre los dos estados, tendremos

Pa·La=Pf·Lf (5)

Finalmente, una consideración geométrica. La longitud combinada del agua y de la burbuja de aire en la sección central de los dos tubos en forma de U permanece constante.

h1+h2+La=h1d+h2i+Lf. (6)

...