Matematica Fisica

PROBLEMA 11.1

El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 1.5t4 - 30t2 + 5t + 10, donde "x" y "t" se expresan en metros y segundos respectivamente. Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t = 4s.

SOLUCION:

Tenemos que: x = 1.5t4 - 30t2 + 5t + 1O

v = dx/dt = x´

x' = 6t3 - 60t + 5 = v

a = dv/dt

x´´ = 18t2 - 60 = a

Evaluamos cuando t = 4s

v = x´= 6(4)3 - 60(4) + 5

v = 149 m/s

a = x´´ = 18(4)2 - 60

a = 228 m/s2

Distancia = x = 1.5(4)4 - 30(4)2 + 5(4) + 10

x = 60 m

Problema 11.5

El movimiento de una partícula está definido por la relación x=6t^2+3t+32 donde “x” y “t” se expresan en metros y segundos, respectivamente.

Determine el tiempo, posición y velocidad cuando a=0.

Posición:

x=6(2/3)^4-2(2/3)^3-12(2/3)+3(2/3)+3=0.259m

Velocidad, 1ra Derivada:

24t^3-6t^2-14t+3=24(2/3)^3-6(2/3)^2-24(2/3)+3=-8.56 m⁄s

Aceleración, 2da derivada:

72t^2-12t-24=0

x=(-(12)±√(〖(-12)〗^2-4(72)(-24) ))/(2(72))=(12±84)/144=96/144=2/3=0.667seg

11.7 el movimiento de una partida esta definido por la relación:

x=t^3-6t^2-36t-40

Donde x y t se expresan en “ft” y “s” respectivamente. Determine:

Cuando V=0

La velocidad, la aceleración y distancia total viajando cuando x=0

a)

posición x= (6)3-(6)(6)2-36(6)-40= -256m

velocidad 1° derivada 3t2-12t-36=0 ecuacion de 2°grado.

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x=(-(-2)±√(〖(-12)〗^2-4(3)(-36)))/(2(3))= (12±24)/6=36/6=6s

Aceleración 2° derivada 6t-12= 6(6)-12= 24 m/s^2

Ecuación de 3° grado (método de Rufiny)

x=t^3-6t^2-36t-40=0

1 -5 -36

-40

10

10 40

40

1 4 4 0

X1=10

t^2+4t+4

1 4

4

-2

-2

-4

1 2 o

X2=-2

1 2

-2 -2

-1 0

X3=-2

t=10 s

velocidad 1° derivada 3t2-12t-36=0

3(10)2-12(10)-36= 144m/s

Aceleración 2° derivada

6(10)-12= 48 m⁄□(s^2 )

0 ≤ t ≤ 6

X0= (0)3-6(0)2-36 (0)-40

X0=40m

X6=(6)3-6(6)2-36(0)-40

X6=-256m

|x_10-x_6 |=|216-(-256)| = 472 m

x_T= 216+472= 688m

11.9 La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=-8m/s^2. Si se sabe que x=20m cuando t=4s y x=4m cuando la velocidad 16m/s determinar a) el tiempo cuando la velocidad es cero b) La velocidad y la distancia total cuando el tiempo=11s.

Sustituyendo 16 en 2

Luego 4 en 3

Problema 11.11

La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo cuando t = 0, la velocidad de la partícula es V=16 pulg/s . Si se sabe que V=15 pulg/s y para X = 20 pulgadas cuando t = 1s. Determine la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t = 7s.

Datos:

t = 0 V = 16 pulg/s

V = 15 pulg/s t = 1s

X = 20 pulg

V = ?

X = ? Cuando t = 7s

X_t= ?

Solución:

a = Kt K = constante

dv/dt=Kt=a

Integrando con t = 0 y V = 16 pulg/s

∫_16^v▒〖dv=∫_0^1▒〖Kt dt〗〗

V-16=1/2 Kt^2

V=16+1/2 Kt^2 (pulg/s)………………(1)

Sustituyendo V=15 pulg/s y t = 1s en ecu. (1)

[15 pulg/s]=16+1/2 K〖(1-0)〗^2

K=(15-16)/(1/2)=(-1)/(1/2)=-2………………(2)

Sustituyendo ecu. (2) en ecu. (1)

V=16+1/2 (-2) t^2=16-2/2 t^2=16-t^2

V=16-t^2

∫_20^X▒〖dx=∫_1^t▒〖(16-t^2) dt〗〗

X-20=16t-1/3 t^3 ∫_1^t▒.

X-20=-1/3 t^3+16t-16+1/3

X=-1/3 t^3+16t-16+1/3+20

X=-1/3 t^3+16t+13/3…………………(3)

Sustituyendo t = 7s en la ecu. (1)

V=16-t^2=16-(7)^2=16-49

V=-33 pulg/s………………….(4)

Sustituyendo t = 7s en la ecu. (3)

X_7=-1/3 (7)^3+16(7)+13/3=2 pulg.

Cuando V = 0

V=16-t^2=0

t^2=16

t=√16=4s.

Sustituyendo en la ecu. (3)

X_4=-1/3 (4)^3+16(4)+13/3=47 pulg

X_0=-1/3 (0)^3+16(0)+13/3=13/3 pulg

0≤t<4 4≤t<7

|X_4-X_0 |=|47-13/3|=42.6 pulg.

|X_7-X_4 |=|47-2|=45 pulg

Distancia total:

X_T=42.6+45=87.6 pulg.

11.13 La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=A-6t^2 donde A es una constante en t=0. La partícula inicia en x=8m con v=0. Si se sabe que t=1 segundo y v=30m/s determine: a) Los tiempos en la que velocidad e cero. b) La distancia total recorrida por la partícula cuando t=5 segundos

Datos.

t=0 x=8m

v=0

t=1seg. v=30m/s

a) v =0 t=?

b) x total=? t=5seg.

Solucion:

dv/dt=a=A-6t^2

∫_0^v▒〖dv=∫_0^t▒(A-6t^2 )dt〗

v-0=At-2t^3 (m/s)

v=At-2t^3……..(1)

30=A(1)-2(1)^3

A=30+2=32……(2)

sustituyendo la ecuacion 2 en la ecuacion 1

dx/dt=v=32t-2t^3……….(3)

integrando.

∫_8^x▒〖dx=∫_0^t▒(32t-〖2t〗^3 )dt〗

x-8=16t^2-1/2 t^4……..(4)

a)cuando v=0 de la ecuacion 3:

v=32t-2t^3=0

simplificando:

V=2t(16t-t^2 )=0

2t=0 16-t^2

t=0/2=0 4=t

por lo que∶

t=4 segundos

...