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Matematica Inecuaciones con Valor Absoluto


Enviado por   •  9 de Junio de 2017  •  Resumen  •  3.424 Palabras (14 Páginas)  •  289 Visitas

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Universidad de la  Frontera

Departamento de Matem´atica y Estad´ıstica

Cl´ınica de Matem´atica

Inecuaciones con  Valor  Absoluto

4

J. Labrin - G.Riquelme

Propiedades de  Valor  Absoluto:

1.  |x · y| = |x| · |y|


3.  |x + y| ≤ |x| + |y|

4.  |x| ≤ k ⇔ −k x k, k 0

2.   x   =

  y  


|x|


5.  |x| ≥ k x ≤ −k x k, k 0

|y|

1.  Resolver la siguiente inecuacio´n:


|x 1| ≤ 3

Solucio´n

|x 1| ≤ 3 ⇔ −3 x 1 3/ + 1                                por propiedad (4)

⇔ −2 x 4

solucio´n: [2, 4]

2.  Resolver la inecuacio´n:


|2x + 4| ≥ 6

Solucio´n

|2x + 4| ≥ 6 2x + 4 ≤ −6  2x + 4 6                                       por propiedad (5)

x + 2 ≤ −3  x + 2 3                          factorizando y simplificando

x ≤ −5 ∨  x 1

Como x es menor o igual que 5 o x es meyor o igual que 1, el conjunto  solucio´n estar´a  dado por la unio´n de estos intervalos (tal y como se aprecia en la Figura 1)

Luego el conjunto solucio´n ser´a: ] − ∞, 5] [1, [


Figura 4.1:[pic 1][pic 2]

3.  Resuelva:


|x2 + 3| ≥ 5

Solucio´n

|x2 + 3| ≥ 5 x2 + 3 ≤ −5  x2 + 3 5                            por propiedad (5)

x2  ≤ −8  x2  2

x2  ≤ −8/8  ∨  |x| ≥ 2

x2 + 8 0  ∨  x2  2

Observamos que x2  + 8 = 0 no tiene solucio´n en R, es decir su solucio´n es , para el segundo caso se tiene:

x2  2 ⇒ |x| ≥ 2 x ≤ −

2


x ≥   2

Luego el conjunto solucio´n se observa en la siguiente imagen (Figura 2)[pic 3]

Figura 4.2:

4.  Resuelva la siguiente inecuacio´n:

Solucio´n


  x        

+ 7  2

           

  2        

[pic 4]

  x                      x                      x

  2 +   2 2 + 7 ≤ −2 2 + 7 2                               Por propiedad (5)

7 

 

x               x

2 ≤ −9 2 ≥ −5                                      multiplicamos por 2

x ≤ −18 x ≥ −10[pic 5]

Figura 4.3:


El conjunto  solucio´n se observa en la figura anterior (Figura 4), de ah´ı podemos asegurar que la solu- cio´n final ser´a:

Sol:] − ∞, 18]  [10, [

5.  Resuelve las siguiente ecuaci´on con valor absoluto:

|x 1| + |4 2x| = 4

Solucio´n

Vemos que los valores que anulan el valor absoluto  son x  = 1 y x  = 2, luego debemos resolver la ecuaci´on para los siguientes intervalos:

...

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