Matematica

LEY DEL SENO:

La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.

La ley de senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante.Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribirá como sigue

FORMAS GENERALES

RESOLUCION DEL PROBLEMA

Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del del tercer lado y la medida de los otros dos ángulos.

Calculemos el ángulo

como los tres ángulos internos deben sumar 180º , podemos obtener el ángulo

Para calcular el lado c podemos utilizar nuevamente la ley de senos

EJEMPLO 2:

una solución existe

dado a = 22, b =12 y a = 40°. encuentre los otros ángulos y el lado.

Por la ley de lo senos,

B es agudo.

C ≈ 180° – 40° – 20.52° ≈ 119.48°

Por la ley de lo senos

Si se nos dan dos lados y un ángulo incluído de un triángulo o si se nos dan 3 lados de un triángulo, no podemos usar la ley de los senos porque no podemos establecer ninguna proporción donde información suficiente sea conocida. En estos dos casos debemos usar la ley de los cosenos.

LA LEY DE COSENO:

La ley de cosenos se puede considerar como una extención del teorema de pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de untriángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones

FORMAS GENERALES

RESOLUCION DEL PROBLEMA

Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del tercer lado.

Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos

EJEMPLO 2: TRES LADOS

Dado a = 8, b = 19 y c = 14. Encuentre las medidas de los ángulos.

Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso, ese es el lado b.

Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.

B ≈ 116.80°

Ya que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso, sabemos que el ángulo A y el ángulo C ambos son agudos.

Para encontrar los otros dos ángulos, es más sencillo usar la ley de los senos.

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