Matemática Para fìsicos

Introducción

Hagámonos una pregunta: ¿Qué cosas se mueven? Un automóvil que viaja hacia la costa; una hoja que, agitada por el viento, cae de un árbol; una pelota que es pateada por un futbolista; un atleta que corre tras una meta; un electrón que vibra en su entorno; la Tierra alrededor del Sol.

Quizás deberíamos preguntarnos ¿hay algo que no se mueva?

Como la respuesta parece obvia (“todo se mueve”) aboquémonos a averiguar ¿qué es movimiento?

Si nos referimos a un objeto que se mueve, diríamos que el objeto tiene movimiento si cambia de posición a través del tiempo.

Entonces, se define el movimiento como un cambio de posición de un cuerpo con respecto a otro cuerpo (donde se sitúa un observador), durante un espacio de tiempo.

¿Han escuchado hablar de relatividad? Relatividad es un concepto muy utilizado cuando se intenta describir un movimiento.

De acuerdo con la anterior definición, para estudiar un movimiento es preciso fijar previamente la posición del observador que contempla dicho movimiento.

En física hablar de un observador equivale a situarlo fijo con respecto al objeto o conjunto de objetos que definen el sistema de referencia. Es posible que un mismo cuerpo esté en reposo para un observador —o visto desde un sistema de referencia determinado— y en movimiento para otro.

De hecho, los movimientos son relativos. Relativos a un sistema de referencia.

Y un sistema de referencia es algo que suponemos en reposo. Respecto al cual describimos los movimientos.

Así, un pasajero sentado en el interior de un avión que despega estará en reposo respecto del propio avión y en movimiento respecto de la pista de aterrizaje.

Otro ejemplo: una estación de metro es el sistema de referencia para los vagones que se mueven dentro de ella. Si hablamos de un automóvil que se mueve, en realidad estamos usando — sin nombrarlo explícitamente— un sistema de referencia. En este caso sería el suelo, la porción de la superficie de la tierra en donde se desplaza el automóvil. Mientras una roca permanece en su lugar en el suelo, el automóvil va ocupando sucesivamente distintas posiciones respecto del suelo.

El estado de reposo o de movimiento de un cuerpo no es, por tanto, absoluto o independiente de la situación del observador, sino relativo; es decir, depende del sistema de referencia desde el que se observe.

Pero veamos lo que sucede a los ocupantes del automóvil de nuestro ejemplo.

Vistas desde fuera del automóvil, las personas que van en su interior también se mueven junto al automóvil. Llevan la misma rapidez, la misma velocidad del automóvil.

Vistas desde dentro del automóvil, las personas están en reposo una respecto a la otra. Podríamos darnos cuenta que una no se mueve respecto a otra, permanecen siempre a la misma distancia entre sí. A lo más habrá movimientos pequeños, limitados por el tamaño del interior del automóvil.

Entonces, una persona que va en el automóvil se mueve respecto al suelo con la misma rapidez y velocidad que el automóvil; sin embargo, respecto a otra persona u objeto que está en el interior del mismo, esa persona no tendría movimiento.

Tomando en cuenta lo anterior, habrá que referirse a un sistema de referencia cuando queramos hablar de que algo se mueve. Habrá que decir, por ejemplo, que “tal cosa se mueve respecto a...”

Ahora bien, en el lenguaje común, cuando no hacemos mención a un sistema de referencia, el sistema de referencia utilizado será la superficie de la Tierra. Es decir, cuando decimos que un automóvil viaja a 60 kilómetros por hora, es respecto a la superficie de la Tierra que el automóvil tiene esa rapidez. La superficie de la Tierra la estamos considerando en reposo.

Antecedentes históricos del movimiento

Aristóteles: Sus leyes de movimiento pueden resumirse en que para que un cuerpo tenga una velocidad, es necesario aplicarle una fuerza mayor a la resistencia, es decir; cuando nosotros queremos mover algo es necesario empujarlo, y este se empezara a mover recién después de que el empuje sobrepase un cierto valor, ósea su resistencia, su peso.

Y según Aristóteles el cuerpo en movimiento adquirirá una velocidad igual a la fuerza e inversamente proporcional a la resistencia. Su descripción en caída de los cuerpos se basaba en que iba a ser proporcional a su peso y tuvieron que pasar muchos años para que alguien se plantara la validez de esto.

Nicolás Copérnico: Modelo heliocéntrico, dice que los planetas no giran alrededor de la tierra sino alrededor del sol, sustituyo al modelo de Ptolomeo. Hizo aportaciones al movimiento muy importantes, al igual que en la astronomía.

Por ejemplo: que la Tierra tiene tres movimientos: la rotación diaria, la revolución anual, y la inclinación anual de su eje, y que el movimiento retrógrado de los planetas es explicado por el movimiento de la Tierra.

Galileo Galilei: Galileo realiza un estudio muy detallado del MRU pero en planos inclinados, también sus características, para esto uso el ejemplo de un péndulo, el decía que aceptaba que un cuerpo recorría una inclinación en el tiempo igual a otra inclinación siempre y cuando estas fueran iguales. El se explicaba como eran los aumentos de velocidad iguales.

También explica características importantes de la aceleración. "Movimiento igualmente o uniformemente acelerado es aquel que a partir del reposo va adquiriendo incrementos iguales de velocidad durante intervalos iguales de tiempo".

Isaac Newton: Estas son importantes tanto que las leyes de movimiento de los cohetes de basan en ellas. Newton planteó que todos los movimientos se atienen a tres leyes principales. El introdujo mucho a la fuerza, causa del movimiento; otro es la masa, la medición de la cantidad de materia puesta en movimiento. Las leyes dicen que si no hay una fuerza el objeto que no se mueve, NO se moverá y si se esta moviendo a una velocidad constante lo seguirá haciendo, también que cuando se aplica fuerza a un objeto se acelera, aparte la ley de reacción, explica que para cada acción existe una reacción igual y opuesta.

El concepto de cinemática

Es posible estudiar el movimiento de dos maneras:

a) describiéndolo, a partir de ciertas magnitudes físicas, a saber: posición, velocidad y aceleración (cinemática);

b) analizando las causas que originan dicho movimiento (dinámica).

En el primer caso se estudia cómo se mueve un cuerpo, mientras que en el segundo se considera el por qué se mueve.

La cinemática, entonces, es la parte de la física que estudia cómo se mueven los cuerpos sin pretender explicar las causas que originan dichos movimientos.

La dinámica es la rama de la física que se ocupa del movimiento de los objetos y de su respuesta a las fuerzas.

El tiempo y el espacio

Para hablar de movimiento es imprescindible referirse a dos magnitudes elementales de la física como son el espacio y el tiempo.

Íntimamente relacionados, el tiempo (t) permite ordenar los sucesos físicos en una escala que distingue entre pasado, presente y futuro, mientras que el espacio (s) puede verse como un medio abstracto en el que se desplazan los cuerpos. Se describe normalmente mediante tres coordenadas que corresponden a la altura, la anchura y la profundidad.

Ahora bien, al referirnos al movimiento, que sabemos se realiza en un espacio y en un tiempo determinados, es preciso tener en cuenta, además, que éste posee varias características (o condiciones) que lo convierten en tal. Si falta alguna de ellas, el movimiento no se puede realizar.

Estas características, condiciones o conceptos involucrados en el movimiento son:

Posición, desplazamiento, trayectoria, velocidad, aceleración y deceleración.

Posición

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x = f(t).

Desplazamiento

t t´

X

0 x x´

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t´ el móvil se encontrará en la posición x´. Decimos que móvil se ha desplazado ∆x = x´ – x en el intervalo de tiempo ∆t = t´ – t, medido desde el instante t al instante t´.

Trayectoria

Para simplificar el estudio del movimiento, representaremos a los cuerpos móviles por puntos geométricos, olvidándonos, por el momento, de su forma y tamaño.

Se llama trayectoria a la línea que describe el punto que representa al cuerpo en movimiento, conforme va ocupando posiciones sucesivas con el transcurso del tiempo.

Una trayectoria puede adoptar diversas formas: rectilínea, curva, parabólica, mixta, etc.

La estela que deja en el cielo un avión a reacción o los rieles de una línea de ferrocarril son representaciones aproximadas de esa línea imaginaria que se denomina trayectoria.

Según sea la forma de su trayectoria los movimientos se clasifican en rectilíneos y curvilíneos (o circulares).

Un automóvil que recorra una calle recta describe un movimiento rectilíneo,

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