Medición aproximada de figuras amorfas

Medición aproximada de figuras amorfas.

Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la

Sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el

Resultado.

Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan

Sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimar esta

Área.

La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante.

Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada.

Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las

Ordenadas x = a y x = b.

El gráfico de la función se muestra a continuación,

[pic 1]

Para estimar el área de tal figura, considere que el área bajo la curva está

Compuesto por un gran número de delgadas tiras verticales.

Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dx para la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx

Donde y = f(x)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y

= f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona limitada.

Esto produce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.

2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a continuación,

[pic 2]

Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dy para la altura y x para la longitud.

El área de esta tira elemental sería, dA = x dy donde x = g(y)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = x dy = g(y) dy.

3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo.

Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración, entonces

A = | f(x) dx|

4 Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encima del eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b serán,

A = |A1| + A2

Tomemos ahora un ejemplo para entender la solución de tales problemas,

Encuentre el área de la región limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x =

4 y por el eje x.

La curva y2 = x es una parábola con su vértice en el origen. El eje de x es la línea de simetría la cual es el eje de la parábola. El gráfico de la función dada sería,

[pic 3]

El área de la región limitada es,

A = y dx = dx = 2/3 [x3/2]14 = 2/3 [43/2 – 13/2] = 2/3 [8 – 1] = 14/3

Notación Sumatoria

En muchas ocasiones las operaciones matemáticas requieren la adición de una serie de números para generar la suma total de todos los números de la serie. En tal escenario se hace difícil escribir la expresión que representa este tipo de operación. El problema empeora a medida que incrementan los números en la serie. Una solución es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos suspensivos y finalmente los últimos números de la serie, como se muestra a continuación,

[pic 4]

Esta expresión representa una operación que incluye la suma de los primeros cien números naturales. En esta expresión hemos usado los puntos suspensivos, los tres puntos en la sucesión, para simbolizar la ausencia de números en la serie.

Una solución aún mejor es hacer uso del símbolo sumatorio o sigma. Este es un tipo de técnica abreviada que ofrece una alternativa más conveniente para representar la operación sumatoria. Puede ser representada de la siguiente manera,

[pic 5]

Aquí se representa la variable o los términos en la serie. El operador sigma es un símbolo de la Grecia antigua, donde fue utilizado como letra mayúscula del alfabeto S. Una representación típica de la operación sumatoria utilizando el símbolo sumatorio se representa,

[pic 6]

La variable que aparece en la parte derecha del símbolo es el “Elemento Típico”, el cual será sumado con la operación sumatoria. Siempre existe un límite inferior y un límite superior de la operación los cuales están representados por debajo y por encima del símbolo sumatorio. La variable, representando el límite de la operación, se escribe debajo del símbolo sumatorio hacia la izquierda del límite inferior.

El límite de la operación se inicia a partir del valor hacia el lado derecho del índice de la variable y termina en el valor escrito sobre el símbolo sumatorio. El límite inferior de la operación es llamado en ocasiones punto de partida, por lo tanto, el límite superior es llamado punto final.

La expresión mostrada arriba se calcula como,

  = x1 + x2 + x3 + … + xn-1 + xn

Mientras que algunos matemáticos están a favor de la escritura de la notación completa cada vez que se va a escribir una operación de notación sumatoria, algunos de ellos están a favor de escribirla solamente cuando se requiere producir la suma de algunas de las cantidades disponibles del conjunto de cantidades, y de escribir una versión abreviada cuando se va a producir la suma de los valores del conjunto completo. A modo de ejemplo, serviría a los fines en el último caso.

Es posible elevar al cuadrado cada uno de los términos y luego producir la suma de todas las cantidades cuadradas. Tal operación se puede denotar como,

  = x12 + x22 + x32 + … + xn-12 + xn2

La notación abreviada de la expresión anterior sería x2. Es esencial recordar que esta notación es completamente diferente de ( x)2 dado que esta última expresión denota una operación en la que primero se suman todos los términos y luego se eleva al cuadrado el resultado obtenido, mientras que la operación anterior denota una expresión en la cual se produce la suma de términos que ya estaban elevados al cuadrado.

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