Medida de Lebesgue

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Medida de Lebesgue

• Una medida es una función que asigna un número real no negativo ( o +∞) a ciertos subconjuntos de un conjunto dado.

• La longitud de un intervalo de extremos 𝑎 𝑦 𝑏 tal como

𝑎 < 𝑥 < 𝑏,        𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,   𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏, 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏

es 𝑏 − 𝑎

• La longitud de un intervalo tal como 𝑥 > 𝑎, 𝑥 ≤ 𝑏 se define como ∞

• En el caso 𝑎 = 𝑏, el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 se convierte en un punto que tiene longitud cero.

• La longitud es un número no negativo.

• Como un intervalo 𝐼 es un subconjunto de puntos, vemos que la longitud es una función del conjunto 𝐼 que tiene valor 𝐿(𝐼) ≥ 0, la longitud del intervalo es su medida.

• La idea de longitud se generaliza a dos, tres y mas dimensiones en un espacio euclideo 𝑅𝑛.

La longitud en R

La longitud es una forma de asignar un número no negativo a ciertos conjuntos de R (a todos si fuese posible) con tres propiedades fundamentales:

1. Si 𝐼 es un intervalo de extremos 𝑎 𝑦 𝑏 (𝑎 ≤ 𝑏), la longitud del intervalo 𝐼, denotada por 𝐿(𝐼) independientemente de que sea abierto, cerrado o semiabierto es

𝐿(𝐼) = 𝑏 − 𝑎,        𝐿(𝐼) ∈ {0, +∞ >.

La longitud del conjunto vacio se define como cero, 𝐿(𝜃) = 0

1. Si 𝐼1 𝑦 𝐼2 son dos intervalos mutuamente disjuntos con longitud definida, su unión tiene como longitud la suma de las longitudes de cada uno de ellos. Es decir, si

𝐿(𝐼1 ⋃ 𝐼2 ) = 𝐿(𝐼1) + 𝐿(𝐼2)

Supuesto que 𝐼1 ∩ 𝐼2 = ∅

1. Si {𝐼𝑛} es una sucesión creciente de subconjuntos de 𝑅, con longitud definida, si

∞[pic 4]

𝑛=1

𝐼𝑛 entonces 𝐿(𝐼) = lim (𝐼𝑛)

𝑛→∞

La segunda propiedad, denominada aditividad de la longitud, se extiende de manera inmediata al caso de un n´umero finito de conjuntos disjuntos, para los que se cumple:

𝑛[pic 5]

𝑘=1

𝐼𝑘) = 𝐿(𝐼1 ⋃ 𝐼2 ⋃ 𝐼3 ⋃ … ⋃ 𝐼𝑛)

= 𝐿(𝐼1) + 𝐿(𝐼2) + 𝐿(𝐼3) + ⋯ + 𝐿(𝐼𝑛) = ∑𝑛[pic 6]

𝐿(𝐼𝑘)

La longitud de un conjunto abierto 𝐺 = ⋃∞[pic 7]

𝐼𝑘

donde los 𝐼𝑘 son intervalos abiertos

mutuamente disjuntos, esta dado por

∞

𝐿(𝐺) = 𝐿(𝐼1) + 𝐿(𝐼2) + 𝐿(𝐼3) + ⋯ = ∑ 𝐿(𝐼𝑘)

𝑘=1

La longitud tiene una cuarta propiedad, muy relacionada con b)

1. Dados dos conjuntos 𝐼1 ⸦ 𝐼2   con longitudes 𝐿(𝐼1) 𝑦 𝐿(𝐼2)        respectivamente, el conjunto

𝐼1 − 𝐼2 tiene longitud 𝐿(𝐼1) − 𝐿( 𝐼2) siempre que la longitud 𝐿( 𝐼2) no sea infinita. Es decir

𝐿(𝐼1 − 𝐼2) = 𝐿(𝐼1) − 𝐿(𝐼2)

Si se restringe 𝐺 de modo que esta situado en algún intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] entonces

0 ≤ 𝐿(𝐺) ≤ 𝑏 − 𝑎

La longitud de un conjunto cerrado 𝐶 ⸦ [𝑎, 𝑏] esta dado por 𝐿(𝐶) = (𝑏 − 𝑎) − 𝐿(𝐶𝑐)

Medida de un conjunto

Una generalización de la definición de longitud a un conjunto arbitrario de la recta real lleva a la definición de medida de un conjunto. La medida de un conjunto 𝐸, denotamos por 𝑚(𝐸)

Se puede atribuir medida a los conjuntos de una clase M de conjuntos, de forma que se verifiquen las propiedades a), b), c) y d) dadas anteriormente, por lo que se verifica:

1. Cualquier intervalo I pertenece a M y

m(I) = |b−a|        si a y b son los extremos de I.

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