Metodos.

1. Con el método de Jacobi aproxima la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales, con 5 iteraciones y determina la cantidad de cifras significativas exactas de la quinta iteración. Utiliza como iteración inicial .

Nota: Para los cálculos utiliza hasta 4 cifras después del punto decimal.

Solución

Primeramente notamos que la matriz de coeficientes del sistema sí es diagonalmente dominante. Por lo tanto, podemos emplear la fórmula recursiva del método de Jacobi, obteniendo:

Para la primera iteración consideraremos , de donde:

Para la segunda iteración utilizamos los valores de la primera iteración:

Similarmente para las otras tres iteraciones resulta la tabla de aproximaciones:

Iteración

0 0.0000 0.0000 0.0000

1 2.0000 0.6000 2.0000

2 1.4250 1.0000 2.2800

3 1.3050 0.9705 2.0850

4 1.3574 0.9390 2.0669

5 1.3659 0.9424 2.0837

Los errores relativos para cada variable son:

,

,

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método iterativo de Gauss – Seidel

4x1 + 10x2 + 8x3 = 142

2x1 + 6x2 + 7x3 = 89.5

9x1 + 2x2 + 3x3= 56.5

Paso 1.

Ordenar los renglones para que pueda ser resuelto.

9x1 + 2x2 + 3x3= 56.5

4x1 + 10x2 + 8x3 = 142

2x1 + 6x2 + 7x3 = 89.5

Paso 2.

Determinar si puede ser resuelta por este método, determinando si es predominantemente dominante en su diagonal.

Paso 3.

Despejar las variables.

X1 = -2x2/9 – 3x3/9 + 56.5/9 = -0.2222x2 – 0.3333x3 + 6.2778

X2 = -4x1/10 – 8x3/10 +142/10 = - 0.4 – 0.8x3 + 14.2

X3 = - 2x1/7 – 6x2/7 + 89.5/7 = - 0.2857x1 – 0.8571x2 + 12.7857

Paso 4.

Se les asigna un valor inicial de 0 x0 = [0, 0, 0, 0]

Paso 5

Se substituye esta solución temporal en las ecuaciones para obtener las nuevas x’s., pero solo cuando no se cuente con la anterior

Iteración 1

X1 = - 0.2222(0) – 0.3333(0) + 6.2778 = 6.2778

X2 = - 0.4(6.2778) – 0.8(0) + 14.2 = 11.6888

X3 = - 0.2857(6.2778) – 0.8571(11.6888) + 12.7857 = 0.9736

Se sustituye en alguna ecuación y se observa si el resultado ya es adecuado:

4(6.2778) + 10(11.6888) + 8(0.9736) =

25.1112 + 116.888 + 7.7888 = 149.788 <> 142

error = abs(142 – 149.788) = 7.788

Pero si 1% = 1.42 entonces error = 7.78 = 5.48%

Aun el error es muy grande. Se repite el paso 5, pero tomado los valores obtenidos en la ecuación anterior

Iteración 2

X1 = - 0.2222(11.6888) – 0.3333(0.9736) + 6.2778 = 3.356

X2 = - 0.4(3.356) – 0.8(0.9736) + 14.2 = 12.0787

X3 = - 0.2857(3.356) – 0.8571(12.0787) + 12.7857 = 1.4742

...