Movimiento armonico

CAPÍTULO   4

MOVIMIENTO ARMÓNICO

INTRODUCCIÓN

Es cotidiano observar el movimiento de vaivén del péndulo de un reloj o las vibraciones de una cuerda de guitarra; o ver cuando vibran las ramas de un diapasón. Estos procesos en que se repiten tales movimientos se denominan vibraciones u oscilaciones.

Existen diferentes tipos de movimiento vibratorio según su naturaleza física de origen y pueden ser mecánicas, tal como la del péndulo o de un resorte, o las electromagnéticas. La técnica de la radio nace por medio de procesos vibratorios. Las cuerdas bucales vibran al hablar, perturban el medio y se produce el sonido.

En algunas ocasiones las oscilaciones suelen desempeñar un papel nocivo; tales como aquellas producidas por las hélices de un avión, o las de un puente, o la de un edificio que está soportando un sismo, donde la vibración puede tener un efecto catastrófico; por lo que es necesario buscar la manera de contrarrestar aquellas vibraciones cuya intensidad genere peligro.

Las  oscilaciones  pueden  ser   propias  (llamadas  también  libres),   forzadas,  auto oscilatoria, etc. Se denominan “oscilaciones propias” a aquellas que se producen al interrumpir el estado de equilibrio del cuerpo o del medio, entonces el cuerpo oscila por sí mismo. Tal caso sucede por ejemplo en un péndulo, que conste de una pequeña esferita metálica, atada por medio de un hilo a un punto fijo; a la esferita se la desplaza

una cierta distancia de su posición de equilibrio y se lo deja y el péndulo oscila.

La oscilación se denomina “forzada” a aquella en la cual actúa una fuerza externa que está presente durante la oscilación. Esta fuerza puede ser variable con el tiempo. Por ejemplo, como sucede en un puente colgante por el cual camina la gente por ambas direcciones.

Movimiento periódico.   Se repite a intervalos iguales de tiempo. Ejemplo: el movimiento de los planetas.

Movimiento oscilatorio.  Movimiento de vaivén (o de ida y vuelta).

4.1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

Es periódico y oscilatorio. El movimiento se repite por la misma trayectoria. La partícula pasa por cada punto de la trayectoria con la misma velocidad que la vez anterior.   Su descripción matemática puede ser expresado por las llamadas funciones armónicas: SENOS y COSENOS.

[pic 1]

Fig. 4.1. Movimiento del cuerpo con frecuencia constante, en una trayectoria circular

Consideremos el caso de una partícula que se mueve con movimiento periódico en una trayectoria circular.

Si observamos la proyección de la partícula sobre el eje X o sobre el eje Y nos damos cuenta que es armónico simple.

Sus desplazamientos en el eje X como en el eje Y vienen expresados por:

x = ACosθ

y = ASenθ

…(4.1)[pic 2]

Supongamos que el objeto de masa m oscila en un plano vertical, por ejemplo, como la rueda de una máquina de coser a pedal, pero con una velocidad angular uniforme. Imaginariamente iluminamos la rueda proyectando su sombra al piso o a una pared (indistintamente en el eje X ó en el eje Y). Observaremos que la proyección de la sombra se mueve con movimiento armónico. En el punto más alejado del punto de equilibrio, la sombra tendrá velocidad cero y a medida que el cuerpo se mueve en la trayectoria circular en sentido antihorario, la sombra proyectada se moverá hacia la izquierda con velocidad que va aumentando a medida que se acerca al punto de equilibrio, donde alcanza una velocidad máxima. Al pasar hacia la izquierda del punto de equilibrio la velocidad disminuye y cuando llega al otro extremo su velocidad es cero. Al retornar la sombra hacia la derecha otra vez se va acelerando y pasa por cualquier punto con la misma velocidad con que pasó a la ida, alcanzando el máximo valor en el punto de equilibrio y esta velocidad máxima tiene el mismo módulo que el que tubo a la ida. Continúa y llega otra vez al punto de partida con velocidad cero. Y otra vez se repite el ciclo mientras dure la rotación de la rueda con velocidad angular constante.

Fig.4.2                                                                   Fig. 4.3[pic 3][pic 4]

La elongación x es el desplazamiento de la partícula (o de la sombra en nuestro caso), desde la posición de equilibrio a cualquier punto del intervalo en el cual oscila la partícula. (Igual es en el eje Y).

La amplitud A, es el máximo desplazamiento a partir del punto de equilibrio. θ  es el

ángulo que hace el vector posición con el eje x positivo; se expresa en radianes. Pero como

θ  = ωt

ω = 2πf

ω  es la velocidad angular (expresada en radianes/seg),  t  es el tiempo que tarda la partícula en describir el ángulo θ ,  f  es la frecuencia (expresada en Hertz).

Entonces:

.

O de otro modo

x =  ACosωt

y = ASenωt

x = ACos 2πf t

y = ASen2πft

Tomemos la derivada temporal en el eje x; es decir la velocidad instantánea vx :

v   = − A(Senθ ) dθ

x                                     dt

Donde la velocidad angular viene dada por ω =  dθ

dt

Es decir:

vx   = − AωSenωt

… (4.2)

El signo menos se debe a que se dirige hacia el centro de la figura (en este caso hacia la izquierda)

De igual forma en el eje Y:

v y

= AωCosωt

La aceleración es la segunda derivada temporal:

a  =  dvx   =[pic 5]

...