Movimiento armonico simple

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Magnitudes del M.A.S a partir de grafica

a siguiente gráfica representa la elongación en función del tiempo de un cuerpo que se comporta según un movimiento armónico simple:

[pic 1]

Determina la amplitud máxima, el periodo, la frecuencia, la frecuencia angular y la fase inicial del movimiento.

SOLUCION

Para resolver este ejercicio se debe hallar principalmente las siguientes formulas: Amplitud máxima A, el periodo T, la frecuencia F, la frecuencia angular, la fase inicial.

Amplitud máxima: este se halla con alguno que pasa por  oscilación mayor (y mínimo) entre los que oscila la gráfica, ya que, sabemos, el valor máximo que alcanza la función coseno es 1. Al multiplicarla por A, se consigue que la clasificación oscile entre -A y A. Por tanto: A = 5 m.

El periodo t: este se determina con el tiempo que transcurrido entre dos distintos puntos donde el cuerpo se encuentre en vibración este se puede determinar mediante la siguiente formula: T = tmax2 - tmax1 = 13 - 1 = 12 s

La frecuencia f: Podemos calcularla como la inversa de la etapa: f = 1 / T = 1/12 = 0.083 Hz.

La frecuencia angular ω: Podemos calcularla a separar de la frecuencia como ω=2⋅π⋅f=0.523 rad/s

La fase inicial φ0 : Viene algún por el atrevimiento de la elongación en t = 0 (rodeando x (0) = 2.5 m). X=A⋅cos(ω⋅t+φ0) =Acos(φ0) ⇒cos(φ0)=x/A⇒φ0=cos−1(x/A)=1.047 rad

Periodo, posición y amplitud del m.a.s. a partir de distancia y tiempo entre extremos trayectoria

Una partícula que se mueve de acuerdo con un movimiento armónico simple tarda 1 s en llegar de un extremo a otro de su trayectoria a otro. Sabiendo que la distancia que separa ambas posiciones es de 16 cm, y que el movimiento se inicia en un extremo de la trayectoria, determina:

1. El periodo del movimiento 
2. La posición de la partícula a los 1.5 segundos
3. La amplitud máxima de las oscilaciones

SOLUCION

En este ejercicio no dan la distancia de trayectoria:16cm y el tiempo que existe entre los extremos de esta: 1s por lo cual se pude calcular se pude calcular esto mediante las siguientes formulas:

- T=2⋅1=2 s: esta formula se lleva acabo ya que sabemos que la partícula tarda 1 s de ir de un extremo a otro en la trayectoria

- A=d extremos/2=16*10−22=8*10 elevado a −2m Sabemos que la distancia entre los extremos es el doble de la amplitud por lo cual se puede realizar esta formula

Entonces obtenemos que la respuesta es:  8⋅10 elevado a−2m

Ecuación del m.a.s. a partir de datos

Determina la ecuación representativa de un movimiento armónico simple sabiendo que la separación máxima a la posición de equilibrio es de 20 cm y se han contado 25 oscilaciones en 5 segundos partiendo del equilibrio.

SOLUCION

Teniendo en cuenta la frecuencia se puede hallar la frecuencia angular:

ω=2⋅π⋅f=10⋅π rad/s 

para finalizar tenemos que escoger si queremos resolverla mediante seno o coseno entonces lo voy a hacer mediante la función de seno:

x(t=0) =0=sin(10⋅π⋅0+φ0) ⇒φ0=0 

x=0.2⋅sin(10⋅π⋅t) m

Desfase en m.a.s. a partir de gráficas

Determina las ecuaciones de las gráficas de la figura. Determina también el desfase entre ambos movimientos.

[pic 2]

SOLUCION

Si observamos la grafica podemos obtener los siguientes datos:

• Amplitud: A = 4 cm
• Periodo: T = 4 s
• Frecuencia f= 1/T = 0.25 Hz
• Pulsación o frecuencia angular ω : ω = 2·π·f = 0.5·π rad/s

Por ultimo tenemos que determinar la fase incial de cada una mediante t= 0

Finalmente, el desfase se puede medir como la disconformidad de grado entre una inquietud y otra en cualquier instante. Para suministrar los cálculos tomamos el santiamén t = 0

Un muelle que actúa de oscilador armónico

Se cuelga un objeto de 200 g de un muelle sujeto al techo de 35 cm de longitud y su nueva longitud es de 45 cm.

• Determina la constante de elasticidad k del muelle
• Si estiramos el muelle hasta que mida 55 cm y lo soltamos, determina las fuerzas que actúan sobre el muelle

SOLUCION

Sabemos que, cuando se cuelga el objeto del muelle y queda en equilibrio estático, el peso debe ser igual que la fuerza restauradora, pues no hay aceleración.

- Fuerza peso: P = m·g = 1.96 N. Su dirección es la del eje y y su sentido hacia abajo

- Fuerza restauradora: Fe = -k·(x + x0) = -19.6·20·10-2 = -3.92 N. Siendo x la distancia a la posición de equilibrio del muelle con el objeto colgado L0 + x0 + x = 55·10-2 m => x = 10·10-2 m. Observa que, en este caso, el sentido - indica que la fuerza va hacia arriba.

- Fuerza total: Para calcularla,en lugar de hacer la simple diferencia, vamos a considerar el sentido positivo hacia abajo y que, tal y como hemos visto en la primera parte de este problema, k⋅x0=m⋅g ,

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