Movimiento Armónico

TEMA 1

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

1.-Movimiento periódico

2.-Movimiento oscilatorio.

3.-Movimiento vibratorio armónico simple.

I. Magnitudes características

4.-Estudio cinemático del movimiento armónico simple (m.a.s)

I. Ecuación del m.a.s.

II. Ecuación de la velocidad m.a.s.

III. Ecuación de la aceleración del m.a.s.

IV. Representaciones gráficas

5.-Estudio dinámico del m.a.s.

6.-Péndulo simple.

7.-Energía del movimiento vibratorio armónico simple.

1.-Movimiento periódico.

Un móvil realiza un movimiento periódico cuando, a intervalos iguales de tiempo, las variables del movimiento (posición, velocidad y aceleración) toman el mismo valor. Ejemplos de movimientos periódicos son: el movimiento de las agujas de un reloj, el movimiento de la Tierra alrededor del Sol.

2.-Movimiento oscilatorio

A los movimientos periódicos que tienen lugar hacia uno y otro lado de una posición de equilibrio, es decir, aquellos en los que la dirección del movimiento cambia bruscamente, se les llama oscilatorios. En estos movimientos, la posición del móvil pasa alternativamente por un máximo y un mínimo respecto a un origen

En los tres casos, al separar el cuerpo hasta la posición A y dejarlo en libertad, se mueve hacia la posición O de equilibrio, pero no se detiene en ella sino que la sobrepasa hasta alcanzar la posición B, en donde se paran momentáneamente, luego vuelven hasta A, y así sucesivamente repitiéndose el movimiento. Al movimiento de ida y vuelta se llama oscilación, vibración o ciclo.

Recibe el nombre de período (T) el tiempo invertido en realizar una vibración completa y se mide en segundos. Siendo la frecuencia ( ) el número de vibraciones o ciclos que realiza el móvil en la unidad de tiempo y se mide en Hertzios (Hz) o s-1.

3.-Movimiento vibratorio armónico simple.

Es el que realiza una partícula que recorre indefinidamente, en un movimiento de vaivén, un segmento rectilíneo, es decir, cambia su posición alternativamente de un lado al otro de un punto fijo de equilibrio, y la fuerza que en cada instante tira de la partícula hacia el centro de la trayectoria es proporcional a la distancia a la que se encuentre de dicho centro (fuerza recuperadora elástica), de expresión:

Se dice que el cuerpo oscila a ambos lados de la posición de equilibrio y constituye un oscilador armónico.

En los movimientos armónicos la posición, la velocidad y la aceleración del movimiento vibratorio pueden expresarse utilizando funciones sinusoidales (seno y coseno).

3. I. Magnitudes características.

Período (T) el tiempo invertido en realizar una vibración completa y se mide en segundos.

Frecuencia ( ) el número de vibraciones o ciclos que realiza el móvil en la unidad de tiempo y se mide en Hertz, aunque generalmente se denomina hertzio (Hz) o s-1.

1Hz=1s-1=1vibración/s=1ciclo/s.

De las definiciones de período y frecuencia se deduce:

Centro de oscilación. Es el punto medio del segmento que recorre el móvil.

Elongación (y) Posición que ocupa la partícula en cualquier instante referida a la posición de equilibrio. Representa la distancia entre la posición que ocupa el móvil y el centro de oscilación. Su unidad en el S.I. es el metro (m).

Amplitud (A). Es el valor máximo que puede tomar la elongación, coincide con la máxima separación del móvil respecto a la posición de equilibrio. La distancia entre las dos posiciones extremas del móvil será 2A. Su unidad en el S.I es el metro.

Pulsación o frecuencia angular ( ) Su valor es . Se mide en rad/s. Aunque se mide en las mismas unidades que la velocidad angular se llama de distinta forma porque los movimientos armónicos no tienen velocidad angular.

4.-Estudio cinemático del movimiento armónico simple (m.a.s)

4. I.-Ecuación del m.a.s.

La ecuación del m.a.s. consiste en expresar la relación que existe entre la posición del móvil en cada instante (elongación) y el tiempo.

Para deducir dicha ecuación vamos a hacer uso de la relación existente entre el m.a.s y un movimiento circular uniforme, ya que el m.a.s. se puede considerar como la proyección sobre un diámetro de las sucesivas posiciones que ocuparía un móvil que se mueva con movimiento circular uniforme.

Supongamos un móvil que recorre una circunferencia con movimiento circular uniforme, y otro que recorre su diámetro, ocupando en cada instante la proyección de la posición del primero sobre el diámetro vertical BE, es decir, mientras que el primero recorre la circunferencia ocupando las posiciones O, A, B, C, etc, el otro recorre el diámetro ocupando las posiciones o, a, b, c, etc... Si la primera partícula sale desde el punto O, y se mueve recorriendo la circunferencia en sentido contrario al de las agujas del reloj, la segunda partícula arranca desde el punto o, centro del diámetro. Al recorrer la primera partícula el primer cuadrante, la segunda se dirige desde o hasta b. Al recorrer el movimiento circular el segundo cuadrante la proyección cambia de sentido y se dirige hacia o. Posteriormente la partícula que se mueve sobre el diámetro se encamina hacia e y después vuelve de nuevo hacia o. Si el primero da una vuelta completa a la circunferencia, el segundo recorre doblemente el diámetro.

Cuando en el movimiento circular se ha recorrido un cuarto de vuelta, el tiempo transcurrido ha sido un cuarto de período, y el m.a.s. ha recorrido el valor máximo de la elongación, es decir, la amplitud (A). Al recorrer la circunferencia completa, el tiempo transcurrido es de un período y en el diámetro se ha efectuado una vibración completa.

El movimiento rectilíneo sobre el diámetro es un m.a.s. ya que se trata de un movimiento oscilatorio a lo largo de un segmento rectilíneo, a ambos lados de la posición central y cuando estudiemos su dinámica demostraremos que la fuerza que en cada instante tira de la partícula hacia el centro de la trayectoria es proporcional a la distancia a la que se encuentre de dicho centro.

Si la primera partícula parte de O, con velocidad angular constante , al cabo de un tiempo t está en la posición P y ha descrito un ángulo . La segunda partícula está, en ese instante, en p y su separación respecto al origen (y) es:

Si la partícula no parte del origen, es decir, comienza el movimiento desde una posición con un ángulo , la ecuación de la elongación será:

A, son constantes que hay que determinar para dejar la ecuación del movimiento como una función de y=f(t)

En esta ecuación al término se le llama fase. Su valor determina el estado de vibración en cada instante. Se mide en radianes (rad)

A se le llama fase inicial o corrección de fase. Su unidad es el radián. El valor de la fase inicial se determina con las condiciones iniciales (conociendo el valor de la elongación en el instante inicial, es decir, para t=0)

Se podría haber considerado la proyección sobre el eje horizontal y haber obtenido la expresión:

Emplearemos la ecuación en función del seno.

Cuando la diferencia de fase entre dos posiciones sea un número par de veces los estados de vibración de las dos posiciones serán iguales: rad. Esto ocurrirá cuando el tiempo que transcurra entre las dos posiciones sea , ya que al transcurrir cada período el móvil repite posición. Se dice entonces que los estados de vibración están en fase o en concordancia de fase.

Sustituyendo por nT y por su valor queda:

Dos posiciones están en oposición de fase cuando sus estados de vibración son opuestos. Si la partícula se dirige hacia las elongaciones positivas, su opuesto es cuando se dirige hacia las elongaciones negativas, y viceversa. Esto ocurre cuando la diferencia de fase es igual a un número impar de veces radianes: rad.

Actividad 1.- ¿Cuál es el intervalo de tiempo que separa dos puntos que se encuentran en oposición de fase?

Actividad 2.-Un objeto cuelga de un muelle y describe un m.a.s. con una amplitud de 10 cm y 0,1 s de período. En el instante inicial el muelle alcanza su máxima separación negativa. Deduce la ecuación del movimiento.

Actividad 3.-Una partícula animada de m.a.s. inicia el movimiento en el extremo positivo de su trayectoria y tarda 0,25 s en llegar al centro de la misma. La distancia entre ambas posiciones es de 20 cm. Calcula: a) La frecuencia del movimiento. b) La ecuación del movimiento. c) La posición de la partícula 0,5 s después de iniciar el movimiento.

Actividad 4.-Una partícula recorre un segmento de 8cm de longitud en 0,05 s, animada con un m.a.s. Si en el instante inicial su elongación tiene el máximo valor positivo, calcula: a) La ecuación del movimiento. b) La posición en el instante 1,85 s. c) La diferencia de fase entre el instante anterior y el instante inicial.

4. II.-Ecuación de la velocidad m.a.s.

Para deducir la ecuación de la velocidad del m.a.s.

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