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Movimiento Armónico Simple


Enviado por   •  19 de Febrero de 2014  •  1.184 Palabras (5 Páginas)  •  352 Visitas

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Movimiento Armónico Simple

El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y también muchos han sido producidos por el hombre.

Definición

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

x = A sen (wt + j)

donde

• A es la amplitud.

• w la frecuencia angular o pulsación.

• w t + j la fase.

• j o jo la fase inicial.

Características de un M.A.S. son:

• Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre +A y -A.

• La función seno es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo T tal que w(t+T)+j=w t+j+2p .

T = 2p/w

Cinemática de un M.A.S.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.

La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación

x = A sen (w t + j)

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

v = A w cos (w t + j)

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

a = - A w2 sen (w t + j ) = - w2x

Condiciones iniciales

Conociendo la pulsación w, la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 (en el instante t=0).

x0=A•senj

v0=Aw•cosj

se puede determinar la amplitud A y la fase inicial φ

Dinámica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

F = m a = - m w2 x

En la ecuación anterior vemos que la fuerza que origina un movimiento armónico simple es una fuerza del tipo:

F = -K x

es decir una fuerza como la que hace un muelle, directamente proporcional a la elongación pero de signo contrario. K es la constante recuperadora o constante de elasticidad y se puede observar, en las dos ecuaciones anteriores, que está relacionada con la pulsación:

K = m w2

Teniendo en cuenta que w = 2p / T podemos deducir el periodo del movimiento armónico simple:

Como se origina un m.a.s.

Siempre que sobre una partícula, desplazada una longitud x de su posición de equilibrio, actúe una fuerza que es proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a éste, tal como se muestra en el ejemplo de la figura

Energía de un M.A.S.

En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa.

En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en el punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la energía correspondiente a la partícula que realiza el m.a.s. es la suma de su energía potencial más su energía cinética.

Toda partícula sometida a un movimiento armónico simple posee una energía mecánica que podemos descomponer en: Energía Cinética (debida a que la partícula está en movimiento) y Energía Potencial (debida a que el movimiento armónico es producido por una fuerza conservativa).

Si tenemos en cuenta el valor de la energía cinética

Ec = 1/2 m v2

y el valor de la velocidad del m.a.s.

v = dx / dt = A w cos (w t + jo)

sustituyendo obtenemos

Ec = 1/2 m v2 = 1/2 m A2 w2cos2 (w t + jo)

Ec = 1/2 k A2 cos 2(w t + jo)

a partir de la ecuación fundamental de la trigonometría:

sen2 + cos2 = 1

Ec = 1/2 k

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