Movimiento circular uniforme. Tarea

Movimiento circular uniforme

En física, el movimiento circular uniforme (también denominado movimiento uniformemente circular) describe el movimiento de un cuerpo atravesando con una rapidez constante y una trayectoria circular.

Aunque la rapidez del objeto es constante, su velocidad no lo es: La velocidad, una magnitud vectorial, tangente a la trayectoria, en cada instante cambia de dirección. Esta circunstancia implica la existencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.

Cinemática del MCU en mecánica clásica[editar]

Ángulo y velocidad angular[editar]

El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene {\displaystyle 2\pi \,} {\displaystyle 2\pi \,} radianes.

La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

{\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}} {\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}}

Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.

Posición[editar]

Moviment circular.jpg

Se considera un sistema de referencia en el plano x,y, con vectores unitarios en la dirección de estos ejes {\displaystyle ({\text{O}};\mathbf {i} ,\mathbf {j} )} {\displaystyle ({\text{O}};\mathbf {i} ,\mathbf {j} )}. La posición de la partícula en función del ángulo de giro {\displaystyle \varphi } \varphi y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano x,y:

{\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases}}} {\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases}}}

De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:

{\displaystyle \mathbf {r} =r\cos(\omega t)\mathbf {i} +r\sin(\omega t)\mathbf {j} } {\displaystyle \mathbf {r} =r\cos(\omega t)\mathbf {i} +r\sin(\omega t)\mathbf {j} }

siendo:

{\displaystyle \mathbf {r} \;} {\displaystyle \mathbf {r} \;}: es el vector de posición de la partícula.

{\displaystyle r\;} {\displaystyle r\;}: es el radio de la trayectoria.

Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (ω):

{\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}={\frac {\varphi }{t}}\qquad \Rightarrow \qquad \varphi =\omega {t}} {\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}={\frac {\varphi }{t}}\qquad \Rightarrow \qquad \varphi =\omega {t}}

El ángulo (φ), debe medirse en radianes:

{\displaystyle \varphi ={\frac {s}{r}}} {\displaystyle \varphi ={\frac {s}{r}}}

donde s es la longitud del arco de circunferencia

Según esta definición:

1 vuelta = 360° = 2 π radianes

½ vuelta = 180° = π radianes

¼ de vuelta = 90° = π /2 radianes

Velocidad tangencial[editar]

La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación tangencial:

{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=-r\omega \sin(\omega t)\mathbf {i} +r\omega \cos(\omega t)\mathbf {j} } {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=-r\omega \sin(\omega t)\mathbf {i} +r\omega \cos(\omega t)\mathbf {j} }

La relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial es:

{\displaystyle {v}=|\mathbf {v} |={\sqrt {(-r\omega \sin(\omega t))^{2}+(r\omega \cos(\omega t))^{2}}}=\omega r} {\displaystyle {v}=|\mathbf {v} |={\sqrt {(-r\omega \sin(\omega t))^{2}+(r\omega \cos(\omega t))^{2}}}=\omega r}

El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar {\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} } {\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} } y comprobando que es nulo.

Aceleración[editar]

La aceleración se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:

{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=-r\omega ^{2}\cos(\omega t)\mathbf {i} -r\omega ^{2}\sin(\omega t)\mathbf {j} } {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=-r\omega ^{2}\cos(\omega t)\mathbf {i} -r\omega ^{2}\sin(\omega t)\mathbf {j} }

de modo que

{\displaystyle \mathbf {a} =-\omega ^{2}\mathbf {r} } {\displaystyle \mathbf {a} =-\omega ^{2}\mathbf {r} }

Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular, por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.

El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad {\displaystyle v\,} v\, de la partícula, ya que, en virtud

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