Métodos lineales y estimación por método de mínimos cuadrados para comprobar el modelo de caída libre

Métodos lineales y estimación por método de mínimos cuadrados para comprobar el modelo de caída libre

Sebastián Torres (2200132) Andrés Rojas (2200170)

juanstorresg@usantotomas.edu.co

Septiembre  27/2016

1    Resumen

En esta  práctica de laboratorio, se realiza el montaje experimental para el modelo de caída libre , en el cual           ubicamos la plataforma de salida a la mínima altura posible de manera que la esfera de acero desactive el digitalizador, así liberamos la esfera y tomamos el tiempo de caída por medio del digitalizador y repetimos cinco veces sin cambiar la altura, terminado esto, procedemos a repetir el modelo de caída libre diez veces a incrementando las alturas, tomamos los datos y construimos la gráfica de altura contra tiempo, de esta forma calculamos el logaritmo base 10 de cada una de las alturas y sus respectivos tiempos ,construimos la gráfica, teniendo en cuenta conceptos previos de caída libre, movimiento acelerado y objeto parte del reposo, describimos la ecuación de movimiento para aplicarle logaritmo en base 10, de esta forma buscar la nueva ecuación en término de la pendiente apoyados de las formulas con sus respectivas incertidumbres, finalmente describimos el significado de los valores resultantes.

2    Introducción

Los mínimos cuadrados no lineales es la forma de análisis de mínimos cuadrados que se usa para encajar un conjunto de m observaciones con un modelo que es no lineal en n parámetros desconocidos (m > n). Se utiliza en algunas formas de regresión no lineal. La base del método es para aproximar el modelo por uno lineal y para refinar los parámetros por iteraciones sucesivas.

Es posible encontrar maneras de calcular la altura de los objetos, una de ellas es la aplicación de los principios de caída libre y movimiento acelerado, utilizando los conceptos fundamentales que implican: tiempo, aceleración  y gravedad, parámetros que determinan la altura o velocidad de cualquier objeto.

Para  la aplicación  de los mínimos cuadrados  se debe responder  la tabla  1. Con los datos  obtenidos en el cambio de alturas.   La altura fue tomada en metros (m)  y el tiempo en segundos (s).

Table  1: Tabla  de datos  y c´alculos

Para  hallar la ecuacion correspondiente de la recta hay que conocer m (pendiente) y b (intercepto).

    También podremos hallar la gravedad que afecta los cuerpos, con sus respectivas  incertidumbres, las cuales estan  dadas  por las ecuaciones 1, 2, 3 y 4 que resultan de la tabla

1:

(1)

  [pic 8]

(2)

[pic 9]

(3)

[pic 10]

(4)

[pic 11]

De acuerdo  a los resultados de las ecuaciones anteriores se construye  la ecuaci´on de la recta.

     calculamos los valores de las incertidumbres tanto para m (pendiente) y b(intercepto), así como para y , por medio de las siguientes ecuaciones. 

(5)

[pic 12]

 [pic 13]

[pic 14]

(7)

[pic 15]

En  toda  medida tomada  instrumentos hay  errores  experimentales, para  hallar  este error,  se multiplica

 La mínima  escala del metro (1mm)  por 2/3  que nos da una incertidumbre de:

∆ = 0.666

3    Descripción del montaje

[pic 16]

                                                                 Figure 1: Montaje experimental

Para  el desarrollo  de la práctica se utilizaron  los siguientes elementos:

1. metro.
2. Esfera de acero.
3. Digitalizador.
4. Soporte.

1. Realice el montaje de la  figure 1.

2. Ubique la plataforma de salida a la mínima altura posible de manera que la esfera desactive el digitalizador.

3. Libere la esfera y registre el tiempo dado por el digitalizador. Repita 5 veces la medida del tiempo sin cambiar la altura.

4. Incremente la altura de la plataforma de salida y repita el paso anterior.

5. Asegúrese de tener datos para 10 alturas diferentes, complete la table 2, la columna tp corresponde al promedio de las 5 medidas de tiempo.

Table 2: Tabla de datos

6. Construya una gráfica de h(m) (ordenada) contra tiempo tp(s) (abscisa) y describa su comportamiento.

7. Calcule el logaritmo base 10 (log) de cada una de las alturas y sus respectivos tiempos promedio. Registre en la table 3.

...