Numeros Enteros

¿Que son los Numeros Enteros?

Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:

• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;

• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

Suma de Numeros Enteros

Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:

• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos:

• 7 + 11 = 18

• -7 - 11 = -18

• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:

• 7 + (-5) = 7 - 5 = 2

• -7 + 5 = - (7 - 5) = -2

• 14 + (-14) = 0

La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)

Conmutativa:

a + b = b + a

Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,

a + 0 = a

Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,

a + (-a) = 0

Multiplicacion de Numeros Enteros

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo:

+ • + = +

+ • - = -

- • + = -

- • - = +

La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa:

(a • b) • c = a • (b • c)

Conmutativa:

a • b = b • a

Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación,

a • 1 = a

Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:

a • (b + c) = a • b + a • c

Resta de Numeros Enteros

Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:

a - b = a + (-b)

Por ejemplo:

5 - (-3) = 5 + 3 = 8

-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7

http://docente.ucol.mx/grios/aritmetica/numenteros.htm

Sumas y restas entre números enteros

Los comerciantes europeos usaban los signos "+" y "-" para diferenciar las ganancias de las pérdidas o deudas.

De allí fue que los matemáticos adoptaron estos signos y, comenzaron a escribir 5 + 10 en vez de

Esto era lo que se usaba antes de usarse el signo "+" : "p'' era el símbolo de la suma, pues la palabra "plus'' significa en latín "más''. Así, cuando en Europa se comenzaron a usar los números que representaban deudas, se les asignó el signo "-'' adelante.

Se comenzará por observar que una resta entre números naturales puede interpretarse de la siguiente manera, usando los números negativos:

Si se piensa que el número negativo -6 representa una deuda en bolívares, está claro que al tener 10 Bs. más una deuda de 6 Bs., el saldo es de 4 Bs., y esto es lo que se obtiene al restar 10 -6.

Así, siempre que se tenga que realizar una resta , puede escribirse como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

En esta operación última la resta podría parecer un poco extraña: un número negativo menos un número positivo. Si la escribimos como suma del minuendo más el opuesto del sustraendo, se obtiene una suma de dos números negativos. Podría decirse, la suma de dos deudas. Ciertamente, eso lo que da es una deuda mayor que las anteriores. ¿Exactamente a cuánto alcanza la deuda?

Naturalmente, se suman 20+37=57 y eso da la cantidad que se debe, es decir,

Veamos ahora este caso:

En este caso, debe restarse a 30 un número mayor, que es 40. Si se interpreta como la suma de 30 + (-40) , se puede realizar esa operación, cosa que no podía hacerse cuando no se conocían los números negativos. Volviendo a pensar en deudas, se tiene 30 Bs. y una deuda de 40 Bs. Eso significa que se paga lo que se tiene y se siguen debiendo 10 Bs.

Es decir:

Ahora se sabe que cualquier resta se puede interpretar como una suma (el minuendo más el opuesto del sustraendo). Bastará entonces con aprender bien a realizar la SUMA de números enteros, para poder realizar cualquier suma o resta de números enteros. Como los números enteros pueden ser positivos o negativos, se estudiarán los casos que es posible encontrar:

Suma de dos enteros positivos:

Se realiza como hasta ahora se han sumado dos números naturales:

Suma de dos enteros de signos contrarios:

Cuando se suman dos números de signos contrarios, se está en presencia de una ganancia y una pérdida; se sabe bien que si la pérdida es mayor que la ganancia, lo que queda al final es una deuda, y si, por el contrario, la ganancia es mayor que la pérdida, lo que queda es ganancia.

De esta manera, se ve que el signo del resultado de sumar dos números de signos contrarios es el signo del mayor de los números, si ambos fueran positivos.

Podría interpretarse la suma del ejemplo como la operación de "moverse" 8 unidades a la derecha de -10. Se puede ver que, como 8 es menor que 10, al moverse

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