Numeros Enteros

Números Enteros “Z”

Definición

Son signos o conjuntos de signos que permiten expresar una cantidad con relación a su unidad. El concepto proviene del latín numĕrus y posibilita diversas clasificaciones que dan a lugar a conjuntos como los números naturales (1, 2, 3, 4…), los números racionales y otros.

Los números enteros abarcan a los números naturales (los que se utilizan para contar los elementos de un conjunto), incluyendo al cero y a los números negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor).

El conjunto de los números enteros, se denota con la letra Z, y está formado el conjunto de los números enteros positivos, los números enteros negativos y el cero que se representa de la siguiente manera:

Z: {…….., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,………}

En el conjunto de los números enteros se pueden distinguir algunos subconjuntos notables, estos son:

• El conjunto de los números enteros positivos, denotado por Z+ :

Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…}

• El conjunto de los números enteros negativos, denotado por Z- :

Z- ={…-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1}

• El conjunto de los números enteros diferentes de cero, denotado por Z* :

Z* = {…, -6, -5, -4, -3, -2, -1, +1, + 2, + 3, +4, +5, + 6,… }

Origen de la denotación de la “Z”

El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea; para contar cantidades utilizaba piedras, hacía marcas en los arboles o nudos en sogas. Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.

El hombre primitivo sólo era capaz de distinguir entre una cosa o muchas. Durante el proceso de hominización, a medida que aumenta su capacidad de abstracción, aprende a contar. El pensamiento matemático nació por la necesidad de enumerar las reses, contabilizar objetos y controlar el paso del tiempo. Para ninguna de estas actividades era preciso el cero. Contar es identificar los elementos de un conjunto, por ejemplo piedras, con un subconjunto {1,2,..., n} de los números naturales. Los números naturales cuentan y ordenan: uno, dos, tres, cuatro...

Los números naturales, no son suficientes cuando se quiere fijar una referencia. Es el caso de la temperatura ambiente o los tratos comerciales. Una deuda no se puede representar con un número natural, además el frío y el calor deben medirse en relación con algo. Hay que inventar una referencia y la manera de contar a ambos lados de esta: es el número cero, los naturales positivos y los negativos. El número cero apareció en Mesopotamia hacia el siglo III a.C., sin embargo, su primer cometido fue el de un dígito sin contenido, un posicionador, para diferenciar unas cantidades de otras. (por ejemplo, 1 de 10). Los números enteros cuentan respecto a una referencia: menos dos, menos uno, cero, uno, dos...

Se sabe que los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir; este hecho trajo como consecuencia la extensión del conjunto de los naturales. El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos, conocidos antiguamente como “números deudos” o “números absurdos”, que datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.

Hoy en día, los números enteros representan una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito,..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.

Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.

Representación en la Recta Numérica

Para representar los números enteros se traza una línea recta, sobre la cual se ubica en un punto el cero (0) y se escoge la medida de un segmento que se toma como unidad. Luego, hacia la derecha del cero se van ubicando a la distancia del segmento unidad cada uno de los enteros positivos comenzando por 1, así mismo; hacia la izquierda los enteros negativos comenzando por -1. Estos quedaran representados gráficamente de esta forma:

También se puede utilizar diferentes escalas como de 2 en 2, 3 en 3, 5 en 5, 10 en 10, 100 en 100, entre otras; para representar cualquier número entero. Por ejemplo,

Todo número entero tiene su opuesto, cuando representas un número en la recta numérica su opuesto estará al otro lado del cero. Es decir, si ubicamos a 8 su opuesto estará a la misma distancia del cero es decir -8 como se muestra a continuación:

Valor Absoluto

En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos

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